Determine a solução geral da equação diferencial dada, utilizando o método dos coeficientes indeterminados:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial
Informações dadas e perguntas a responder:
- A equação é linear de coeficientes constantes, de quarta ordem.
- O termo do lado direito é a soma de duas funções: uma função polinomial
e uma função exponencial . - Objetivo: encontrar a solução geral
, que é a soma da solução da homogênea e de uma solução particular da completa.
Passo 2
Primeiro vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
Para isso usamos a substituição padrão
. Isso leva ao polinômio característico em
:
Resolvendo:
Logo as raízes são
Explicando:
é raiz de multiplicidade
, isso gera soluções polinomiais em
(constante e
);
e
geram
e
.
Assim a solução geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa. Como o lado direito é soma de duas funções, por superposição podemos procurar
onde
é particular para
e
é particular para
.
Regra importante (resonância): se a forma proposta para a solução particular coincide com alguma solução da homogênea, devemos multiplicar por
, onde
é a menor potência necessária (igual à multiplicidade da raiz correspondente do polinômio característico). Vamos aplicar isso nas duas partes.
- Para o termo
: isso é um polinômio de grau , que corresponde a com raiz . Como é raiz de multiplicidade , devemos multiplicar o polinômio candidato por . Portanto o palpite para é
com constantes a determinar
.
- Para o termo
: normalmente tentaríamos (constante vezes ). Mas é raiz simples do polinômio característico (já aparece em como ), então há ressonância de ordem . Logo multiplicamos por e adotamos o palpite
com constante
a determinar.
Passo 4
Determinar
(parte polinomial). Tomamos
Calculemos as derivadas necessárias (vou mostrar cada passo):
Agora substituímos na equação diferencial (operador
):
Distribuindo:
Agrupando por potências de
:
Queremos que isso seja igual ao lado direito correspondente, que é
(apenas para esta parte). Então igualamos coeficientes entre polinômios:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Termo constante:
. Substituindo :
Portanto
Passo 5
Determinar
(parte exponencial). Tomamos
Calculemos derivadas com cuidado (uso regra do produto repetidas vezes):
Começando por
.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Quarta derivada:
Agora o operador:
Calcule o que está entre parênteses:
Logo
Queremos que isto iguale ao termo
do lado direito. Assim
Portanto
Passo 6
Agora somamos as partes particulares:
A solução geral da equação diferencial é a soma da homogênea com a particular:
Dica final rápida: se quiser, pode verificar substituindo esta
na equação original; os termos envolvendo
desaparecem na parte esquerda (pois são solução da homogênea) e o resto dará exatamente
.