Determine a solução geral da equação diferencial dada, utilizando o método dos coeficientes indeterminados:
y^{(4)}-4 y^{\prime \prime}=t^{2}+e^{2 t}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial
y^{(4)}-4y''=t^{2}+e^{2t}.
Informações dadas e perguntas a responder:
  • A equação é linear de coeficientes constantes, de quarta ordem.
  • O termo do lado direito é a soma de duas funções: uma função polinomial \,t^{2}\, e uma função exponencial \,e^{2t}.
  • Objetivo: encontrar a solução geral y(t), que é a soma da solução da homogênea e de uma solução particular da completa.

Passo 2

Primeiro vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
y^{(4)}-4y''=0.
Para isso usamos a substituição padrão y=e^{rt}. Isso leva ao polinômio característico em r:
r^{4}-4r^{2}=0.
Resolvendo:
r^{2}(r^{2}-4)=0 \quad\Rightarrow\quad r^{2}=0 \\ \text{ou}\\ r^{2}=4.
Logo as raízes são
r=0\\ (\text{dupla}),\qquad r=2,\qquad r=-2.
Explicando: r=0 é raiz de multiplicidade 2, isso gera soluções polinomiais em t (constante e t); r=2 e r=-2 geram e^{2t} e e^{-2t}.
Assim a solução geral da homogênea é
y_{h}(t)=C_{1}+C_{2}t+C_{3}e^{2t}+C_{4}e^{-2t},
onde C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_{p} da equação completa. Como o lado direito é soma de duas funções, por superposição podemos procurar
y_{p}=y_{p1}+y_{p2},
onde y_{p1} é particular para t^{2} e y_{p2} é particular para e^{2t}.
Regra importante (resonância): se a forma proposta para a solução particular coincide com alguma solução da homogênea, devemos multiplicar por t^{s}, onde s é a menor potência necessária (igual à multiplicidade da raiz correspondente do polinômio característico). Vamos aplicar isso nas duas partes.
  1. Para o termo t^{2}: isso é um polinômio de grau 2, que corresponde a e^{0t} com raiz r=0. Como r=0 é raiz de multiplicidade 2, devemos multiplicar o polinômio candidato por t^{2}. Portanto o palpite para y_{p1} é
y_{p1}(t)=t^{2}(A t^{2}+B t+C)=A t^{4}+B t^{3}+C t^{2},
com constantes a determinar A,B,C.
  1. Para o termo e^{2t}: normalmente tentaríamos D e^{2t} (constante vezes e^{2t}). Mas r=2 é raiz simples do polinômio característico (já aparece em y_{h} como e^{2t}), então há ressonância de ordem 1. Logo multiplicamos por t e adotamos o palpite
y_{p2}(t)=D\,t\,e^{2t},
com constante D a determinar.

Passo 4

Determinar y_{p1} (parte polinomial). Tomamos
y_{p1}(t)=A t^{4}+B t^{3}+C t^{2}.
Calculemos as derivadas necessárias (vou mostrar cada passo):
y_{p1}'=4A t^{3}+3B t^{2}+2C t,
y_{p1}''=12A t^{2}+6B t+2C,
y_{p1}'''=24A t+6B,
y_{p1}^{(4)}=24A.
Agora substituímos na equação diferencial (operador L[y]=y^{(4)}-4y''):
L[y_{p1}]=y_{p1}^{(4)}-4y_{p1}''=24A-4(12A t^{2}+6B t+2C).
Distribuindo:
L[y_{p1}]=24A-48A t^{2}-24B t-8C.
Agrupando por potências de t:
L[y_{p1}]=(-48A)\,t^{2}+(-24B)\,t+(24A-8C).
Queremos que isso seja igual ao lado direito correspondente, que é t^{2} (apenas para esta parte). Então igualamos coeficientes entre polinômios:
  • Coeficiente de t^{2}: -48A=1 \Rightarrow A=-\dfrac{1}{48}.
  • Coeficiente de t: -24B=0 \Rightarrow B=0.
  • Termo constante: 24A-8C=0. Substituindo A:
24\left(-\frac{1}{48}\right)-8C=0 \quad\Rightarrow\quad -\frac{1}{2}-8C=0 \quad\Rightarrow\quad C=-\frac{1}{16}.
Portanto
y_{p1}(t)=-\frac{1}{48}t^{4}-\frac{1}{16}t^{2}.

Passo 5

Determinar y_{p2} (parte exponencial). Tomamos
y_{p2}(t)=D\,t\,e^{2t}.
Calculemos derivadas com cuidado (uso regra do produto repetidas vezes):
Começando por y_{p2}=D\,t\,e^{2t}.
Primeira derivada:
y_{p2}'=D\big(e^{2t}+2t e^{2t}\big)=D e^{2t}(1+2t).
Segunda derivada:
y_{p2}''=D\big(2e^{2t}(1+2t)+2e^{2t}\big)=D e^{2t}\big(2(1+2t)+2\big)=4D e^{2t}(1+t).
Terceira derivada:
y_{p2}'''=4D\big(2e^{2t}(1+t)+e^{2t}\big)=4D e^{2t}(3+2t).
Quarta derivada:
y_{p2}^{(4)}=4D\big(2e^{2t}(3+2t)+2e^{2t}\big)=4D e^{2t}(8+4t)=16D e^{2t}(2+t).
Agora o operador:
L[y_{p2}]=y_{p2}^{(4)}-4y_{p2}''=e^{2t}\big(16D(2+t)-4\cdot 4D(1+t)\big).
Calcule o que está entre parênteses:
16D(2+t)-16D(1+t)=16D(2+t-1-t)=16D.
Logo
L[y_{p2}]=16D\,e^{2t}.
Queremos que isto iguale ao termo e^{2t} do lado direito. Assim
16D\,e^{2t}=1\cdot e^{2t}\quad\Rightarrow\quad 16D=1 \quad\Rightarrow\quad D=\frac{1}{16}.
Portanto
y_{p2}(t)=\frac{1}{16}\,t\,e^{2t}.

Passo 6

Agora somamos as partes particulares:
y_{p}(t)=y_{p1}(t)+y_{p2}(t)=-\frac{1}{48}t^{4}-\frac{1}{16}t^{2}+\frac{1}{16}\,t\,e^{2t}.
A solução geral da equação diferencial é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=y_{h}(t)+y_{p}(t)=C_{1}+C_{2}t+C_{3}e^{2t}+C_{4}e^{-2t}-\frac{1}{48}t^{4}-\frac{1}{16}t^{2}+\frac{1}{16}\,t\,e^{2t}.
Dica final rápida: se quiser, pode verificar substituindo esta y(t) na equação original; os termos envolvendo C_{1},\dots,C_{4} desaparecem na parte esquerda (pois são solução da homogênea) e o resto dará exatamente t^{2}+e^{2t}.

Resposta

y(t)=C_{1}+C_{2}t+C_{3}e^{2t}+C_{4}e^{-2t}-\dfrac{1}{48}t^{4}-\dfrac{1}{16}t^{2}+\dfrac{1}{16}\,t\,e^{2t}

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