Tranforme a equação diferencial dada num sistema de equações de primeira ordem:
y^{\prime \prime}+\frac{1}{2} y^{\prime}+2 y=3 \operatorname{sen}(t).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y''+\frac{1}{2}y'+2y=3\sin(t)
e pede para transformá-la em um sistema de equações de primeira ordem. Informações relevantes:
  • Trata-se de uma EDO de segunda ordem, linear, não homogênea (termo forçante 3\sin(t)).
  • O objetivo é reescrever essa equação como um sistema equivalente de equações de primeira ordem.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): para reduzir a ordem de uma EDO de ordem n para um sistema de n equações de primeira ordem, define-se variáveis de estado que representam a função e suas derivadas até a ordem n-1. Isso transforma a única equação de ordem elevada em várias equações de primeira ordem acopladas, que são mais fáceis de tratar com métodos de teoria de sistemas e com métodos numéricos (Euler, Runge–Kutta etc.). Vou mostrar passo a passo como fazer isso aqui.

Passo 3

Definição das novas variáveis (escolha padrão):
x_1(t)=y(t),\qquad x_2(t)=y'(t).
Explicação: x_1 guarda o valor da solução y e x_2 guarda a derivada de y. Com essas duas variáveis, conhecer (x_1,x_2) é o mesmo que conhecer y e y', informação suficiente para recuperar y'' via a equação original.

Passo 4

Escrever as equações para as derivadas das novas variáveis:
  • Derivando x_1:
x_1'(t)=\bigl(y(t)\bigr)'=y'(t)=x_2(t).
  • Derivando x_2:
x_2'(t)=\bigl(y'(t)\bigr)'=y''(t).
Agora uso a equação original para substituir y''(t). Da equação dada:
y''(t)=-\frac{1}{2}y'(t)-2y(t)+3\sin(t).
Substituindo y e y' por x_1 e x_2:
x_2'(t)=-\frac{1}{2}x_2(t)-2x_1(t)+3\sin(t).

Passo 5

Reunindo as duas equações, obtemos o sistema de primeira ordem:
\begin{cases} x_1'(t)=x_2(t),\\[6pt] x_2'(t)=-\dfrac{1}{2}x_2(t)-2x_1(t)+3\sin(t). \end{cases}
Comentário: este sistema é equivalente à equação original: qualquer solução y(t) da equação original corresponde a (x_1,x_2)=(y,y') que satisfaz o sistema, e vice-versa.]

Passo 6

Forma matricial (útil para análise e implementações):
definindo o vetor de estado \mathbf{x}(t)=\begin{pmatrix}x_1(t)\\[4pt]x_2(t)\end{pmatrix}, pode-se escrever
\mathbf{x}'(t)=A\mathbf{x}(t)+\mathbf{g}(t),
onde
A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-2 & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}, \qquad \mathbf{g}(t)=\begin{pmatrix}0\\[4pt]3\sin(t)\end{pmatrix}.
Explicação das entradas: a primeira linha (0\\\ 1) reflete x_1'=x_2; a segunda linha (-2\\\ -\tfrac{1}{2}) vem dos coeficientes de x_1 e x_2 em x_2'; \mathbf{g}(t) é o termo forçante dependente de t.]

Passo 7

Observações práticas e como usar isso na prova:
  • Se for dado um conjunto de condições iniciais y(t_0)=y_0 e y'(t_0)=v_0, então a condição inicial para o sistema é
\mathbf{x}(t_0)=\begin{pmatrix}y_0\\[4pt]v_0\end{pmatrix}.
  • Esse procedimento não usa nenhuma técnica avançada: é só definir variables para y e y' e substituir. Na prova, escreva claramente as definições x_1=x_2 etc., porque perguntas de transformação costumam checar isso.
  • Vantagens: sistema em primeira ordem permite aplicar teoria de autovalores, exponenciais de matriz e métodos numéricos prontinhos.]

Resposta

\begin{cases} x_1'(t)=x_2(t),\\[6pt] x_2'(t)=-\dfrac{1}{2}x_2(t)-2x_1(t)+3\sin(t). \end{cases}
\text{ou}\qquad \mathbf{x}'(t)=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-2 & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}\mathbf{x}(t)+\begin{pmatrix}0\\[4pt]3\sin(t)\end{pmatrix}.]

Exercícios relacionados