Determine a solução geral da equação diferencial homogênea de 1^{\circ} ordem:
y^{\prime}+\ln (x) y=0

Passo 1

O enunciado pede para determinar a solução geral da equação diferencial de primeira ordem dada por
y^{\prime}+\ln(x)\,y=0.
Informações e o que é pedido:
  • A equação fornecida é \;y'(x)+\ln(x)\,y(x)=0\;.
  • Deve-se encontrar a solução geral y(x), ou seja, a família de funções que satisfazem a equação.
  • Observação sobre domínio: o termo \ln(x) está bem definido apenas para x>0. Portanto, as soluções reais que vamos obter valem em intervalos onde x>0.

Passo 2

Escolha do método e justificativa (sem nomes técnicos complicados): a equação pode ser rearranjada para isolar a derivada e escrever numa forma que permite separar as variáveis y e x. Escrever a equação como
y' = -\ln(x)\,y
mostra que podemos colocar todos os termos com y de um lado e os termos com x do outro, o que permite integrar ambos os lados. Separar variáveis é um método direto, simples e totalmente adequado aqui.

Passo 3

Separação de variáveis: dividir por y (considerando primeiro y\neq0) e multiplicar por dx
\frac{dy}{y} = -\ln(x)\,dx.
Explicação didática: \dfrac{dy}{y} significa "a taxa relativa de variação de y"; integrar essa quantidade é a forma natural de obter y. Do lado direito temos uma função de x somente, -\ln(x), que também podemos integrar em relação a x.

Passo 4

Integrar ambos os lados: integrar \int \dfrac{dy}{y} e \int -\ln(x)\,dx.
  • A integral do lado esquerdo é
\int \frac{dy}{y} = \ln|y| + C_1,
porque a primitiva de 1/y é o logaritmo natural do valor absoluto de y. O valor absoluto aparece para permitir y negativo também.
  • A integral do lado direito exige calcular \int \ln(x)\,dx. Fazemos por partes: escolher u=\ln(x) e dv=dx. Então du=\dfrac{1}{x}dx e v=x. Pela fórmula da integração por partes \int u\,dv = uv - \int v\,du temos
\int \ln(x)\,dx = x\ln(x) - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln(x) - \int 1\,dx = x\ln(x) - x + C_2.
Portanto
\int -\ln(x)\,dx = -\bigl(x\ln(x)-x\bigr) + C_3 = -x\ln(x)+x + C_3.

Passo 5

Juntar as integrais e resolver para y.
A igualdade das primitivas dá
\ln|y| = -x\ln(x)+x + C,
onde C é uma constante (absorvendo C_3 e C_1 numa só). Agora exponenciamos para eliminar o logaritmo:
|y| = e^{\,\ln|y|} = e^{\, -x\ln(x)+x + C } = e^{C}\,e^{\,x - x\ln(x)}.
Escrever e^{C} como uma nova constante positiva A>0. Assim |y| = A\,e^{\,x - x\ln(x)}. Removendo o módulo e permitindo constantes reais C (positiva, negativa ou zero) obtemos a forma geral
y(x) = C\,e^{\,x - x\ln(x)},
onde C\in\mathbb{R}. Observação: a solução identicamente nula y\equiv0 corresponde a C=0, então está incluída.

Passo 6

Simplificação e comentário sobre a expressão: podemos reescrever a exponencial usando propriedades:
e^{\,x - x\ln(x)} = e^{x}\,e^{-x\ln(x)} = e^{x}\,\bigl(e^{\ln(x)}\bigr)^{-x} = e^{x}\,x^{-x}.
Portanto uma forma alternativa e muito clara da solução geral é
y(x)=C\,e^{x}\,x^{-x},\qquad C\in\mathbb{R},
válida para x>0. Essa é a família completa de soluções reais da equação original.

Resposta

y(x)=C\,e^{x-x\ln(x)},\quad C\in\mathbb{R}

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