Determine a solução geral da equação diferencial homogênea de
ordem:
Passo 1
O enunciado pede para determinar a solução geral da equação diferencial de primeira ordem dada por
Informações e o que é pedido:
- A equação fornecida é
. - Deve-se encontrar a solução geral
, ou seja, a família de funções que satisfazem a equação. - Observação sobre domínio: o termo
está bem definido apenas para . Portanto, as soluções reais que vamos obter valem em intervalos onde .
Passo 2
Escolha do método e justificativa (sem nomes técnicos complicados): a equação pode ser rearranjada para isolar a derivada e escrever numa forma que permite separar as variáveis
e
. Escrever a equação como
mostra que podemos colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro, o que permite integrar ambos os lados. Separar variáveis é um método direto, simples e totalmente adequado aqui.
Passo 3
Separação de variáveis: dividir por
(considerando primeiro
) e multiplicar por
dá
Explicação didática:
significa "a taxa relativa de variação de
"; integrar essa quantidade é a forma natural de obter
. Do lado direito temos uma função de
somente,
, que também podemos integrar em relação a
.
Passo 4
Integrar ambos os lados: integrar
e
.
- A integral do lado esquerdo é
porque a primitiva de
é o logaritmo natural do valor absoluto de
. O valor absoluto aparece para permitir
negativo também.
- A integral do lado direito exige calcular
. Fazemos por partes: escolher e . Então e . Pela fórmula da integração por partes temos
Portanto
Passo 5
Juntar as integrais e resolver para
.
A igualdade das primitivas dá
A igualdade das primitivas dá
onde
é uma constante (absorvendo
e
numa só). Agora exponenciamos para eliminar o logaritmo:
Escrever
como uma nova constante positiva
. Assim
. Removendo o módulo e permitindo constantes reais
(positiva, negativa ou zero) obtemos a forma geral
onde
. Observação: a solução identicamente nula
corresponde a
, então está incluída.
Passo 6
Simplificação e comentário sobre a expressão: podemos reescrever a exponencial usando propriedades:
Portanto uma forma alternativa e muito clara da solução geral é
válida para
. Essa é a família completa de soluções reais da equação original.