Determine a solução geral da equação diferencial homogênea de
ordem:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial
Informações dadas:
- A incógnita é a função
. - A equação envolve as funções trigonométricas
e . - Deve-se obter a família de soluções (solução geral), com constante(s) de integração.
Passo 2
Colocar a equação numa forma mais conveniente. Se
podemos dividir ambos os lados por
para obter uma forma padrão:
Observação importante (não resolver ainda): dividir por
exige atenção quando
. Vamos tratar disso depois; por enquanto trabalhamos em intervalos onde
.
Passo 3
Reconhecer que a equação é separável na forma obtida. Reescrevendo
como
temos
A técnica da separação de variáveis diz para colocar todos os termos em
de um lado e todos os termos em
do outro:
Explicando a técnica: a ideia é integrar ambos os lados; o lado esquerdo só depende de
e o direito só de
, então podemos integrar em
e em
separadamente.
Passo 4
Integrar ambos os lados. À esquerda:
À direita precisamos integrar
. Usar
; uma primitiva conhecida é
. Portanto
Assim, integrando:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Resolver para
. Exponenciando ambos os lados:
Denotando
e absorvendo o sinal possível em uma constante
, obtemos a família geral
onde
é uma constante real arbitrária (inclui a solução
, isto é
).
Passo 6
Verificação rápida: derivando
vem
. Substituindo na equação original:
logo a família encontrada satisfaz a equação para todo
.
Passo 7
Comentário sobre domínio e o passo em que dividimos por
. Apesar de termos dividido por
no início (o que restringiria a derivação a intervalos onde
), a solução final
é uma expressão bem definida para todo
e, ao ser substituída na equação original, cancela os termos de forma algébrica mesmo quando
. Portanto a família
é válida globalmente (para todo
), e já inclui a solução trivial
.