Determine a solução geral da equação diferencial homogênea de 1^{\circ} ordem:
\cos (x) y^{\prime}+\sin (x) y=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial
\cos(x)\,y'(x)+\sin(x)\,y(x)=0.
Informações dadas:
  • A incógnita é a função y=y(x).
  • A equação envolve as funções trigonométricas \cos(x) e \sin(x).
  • Deve-se obter a família de soluções (solução geral), com constante(s) de integração.

Passo 2

Colocar a equação numa forma mais conveniente. Se \cos(x)\neq0 podemos dividir ambos os lados por \cos(x) para obter uma forma padrão:
y'(x)+\tan(x)\,y(x)=0.
Observação importante (não resolver ainda): dividir por \cos(x) exige atenção quando \cos(x)=0. Vamos tratar disso depois; por enquanto trabalhamos em intervalos onde \cos(x)\neq0.

Passo 3

Reconhecer que a equação é separável na forma obtida. Reescrevendo y' como \dfrac{dy}{dx} temos
\frac{dy}{dx}=-\tan(x)\,y.
A técnica da separação de variáveis diz para colocar todos os termos em y de um lado e todos os termos em x do outro:
\frac{1}{y}\,dy=-\tan(x)\,dx.
Explicando a técnica: a ideia é integrar ambos os lados; o lado esquerdo só depende de y e o direito só de x, então podemos integrar em y e em x separadamente.

Passo 4

Integrar ambos os lados. À esquerda:
\int \frac{1}{y}\,dy=\ln|y|.
À direita precisamos integrar -\tan(x). Usar \tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}; uma primitiva conhecida é \int \tan(x)\,dx=-\ln|\cos(x)|. Portanto
\int -\tan(x)\,dx = \ln|\cos(x)|.
Assim, integrando:
\ln|y|=\ln|\cos(x)|+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Resolver para y. Exponenciando ambos os lados:
|y|=e^{\ln|\cos(x)|+C}=e^{C}\,|\cos(x)|.
Denotando A=e^{C}>0 e absorvendo o sinal possível em uma constante C_1\in\mathbb{R}, obtemos a família geral
y=C_1\cos(x),
onde C_1 é uma constante real arbitrária (inclui a solução C_1=0, isto é y\equiv0).

Passo 6

Verificação rápida: derivando y=C_1\cos(x) vem y'=-C_1\sin(x). Substituindo na equação original:
\cos(x)\,y'+\sin(x)\,y=\cos(x)(-C_1\sin(x))+\sin(x)(C_1\cos(x))=0,
logo a família encontrada satisfaz a equação para todo x.

Passo 7

Comentário sobre domínio e o passo em que dividimos por \cos(x). Apesar de termos dividido por \cos(x) no início (o que restringiria a derivação a intervalos onde \cos(x)\neq0), a solução final y=C_1\cos(x) é uma expressão bem definida para todo x\in\mathbb{R} e, ao ser substituída na equação original, cancela os termos de forma algébrica mesmo quando \cos(x)=0. Portanto a família y=C_1\cos(x) é válida globalmente (para todo x), e já inclui a solução trivial y\equiv0.

Resposta

y=C\cos(x),\\ C\in\mathbb{R}

Exercícios relacionados