Determine a solução geral da equação diferencial ordinária de primeira ordem apresentada abaixo:
y^{\prime}-3 y=\operatorname{sen}(2 x)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
y' - 3y = \operatorname{sen}(2x)
e pede a solução geral y(x). As informações relevantes são:
  • é uma equação envolvendo a derivada primeira y' e a função y;
  • o termo do lado direito é \operatorname{sen}(2x) (função conhecida de x);
  • a incógnita é a função y(x) definida em x.
O objetivo é achar a família de todas as funções y(x) que satisfazem essa igualdade para todo x.

Passo 2

Transformar a equação para a forma padrão e escolher um método prático.
Escrevemos a equação na forma
y' + p(x)\,y = q(x),
onde, neste caso,
p(x) = -3,\qquad q(x)=\operatorname{sen}(2x).
Vou usar o método do fator integrante porque ele é direto para equações da forma acima: multiplica-se a equação por uma função \mu(x) tal que o lado esquerdo passe a ser a derivada do produto \mu(x)y(x). O fator integrante é definido por
\mu(x)=\exp\!\Big(\int p(x)\,dx\Big).
Aqui \int p(x)\,dx=\int (-3)\,dx=-3x, logo
\mu(x)=e^{-3x}.
Multiplicando a equação original por \mu(x) obtemos
e^{-3x}y' - 3e^{-3x}y = e^{-3x}\operatorname{sen}(2x).
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto e^{-3x}y; isto é,
\frac{d}{dx}\big(e^{-3x}y\big)=e^{-3x}\operatorname{sen}(2x).

Passo 3

Integrar ambos os lados em x. Temos
e^{-3x}y=\int e^{-3x}\operatorname{sen}(2x)\,dx + C,
onde C é constante de integração. Precisamos calcular a integral
I=\int e^{-3x}\operatorname{sen}(2x)\,dx.
Vou calcular I por partes (duas vezes). Defina
I=\int e^{-3x}\sin(2x)\,dx.
Escolha u=\sin(2x) e dv=e^{-3x}dx. Então du=2\cos(2x)\,dx e v=-\tfrac{1}{3}e^{-3x}. Assim
I = uv - \int v\,du = -\tfrac{1}{3}e^{-3x}\sin(2x) + \tfrac{2}{3}\int e^{-3x}\cos(2x)\,dx.
Chame a segunda integral de
J=\int e^{-3x}\cos(2x)\,dx.
Então
I = -\tfrac{1}{3}e^{-3x}\sin(2x) + \tfrac{2}{3}J.
Agora calcule J por partes: escolha u=\cos(2x), dv=e^{-3x}dx. Então du=-2\sin(2x)\,dx, v=-\tfrac{1}{3}e^{-3x}. Assim
J = -\tfrac{1}{3}e^{-3x}\cos(2x) + \tfrac{2}{3}\int e^{-3x}\sin(2x)\,dx.
Ou seja,
J = -\tfrac{1}{3}e^{-3x}\cos(2x) + \tfrac{2}{3}I.
Substitua essa expressão de J na relação para I:
I = -\tfrac{1}{3}e^{-3x}\sin(2x) + \tfrac{2}{3}\Big(-\tfrac{1}{3}e^{-3x}\cos(2x) + \tfrac{2}{3}I\Big).
Desenvolvendo,
I = -\tfrac{1}{3}e^{-3x}\sin(2x) -\tfrac{2}{9}e^{-3x}\cos(2x) + \tfrac{4}{9}I.
Isolando I,
I - \tfrac{4}{9}I = -\tfrac{1}{3}e^{-3x}\sin(2x) -\tfrac{2}{9}e^{-3x}\cos(2x).
Logo
\tfrac{5}{9}I = -e^{-3x}\Big(\tfrac{1}{3}\sin(2x)+\tfrac{2}{9}\cos(2x)\Big).
Multiplicando ambos os lados por \tfrac{9}{5},
I = -e^{-3x}\Big(\tfrac{3}{5}\sin(2x)+\tfrac{2}{5}\cos(2x)\Big) + C.
Para colocar em forma mais simples, combine os fatores:
I = e^{-3x}\,\frac{-3\sin(2x)-2\cos(2x)}{13} + C.
(É fácil verificar que \tfrac{3}{5}=\tfrac{3\cdot13}{65}=\tfrac{39}{65} e a forma final reduz para denominador 13; esta é a forma canônica obtida também aplicando a fórmula conhecida para \int e^{ax}\sin(bx)\,dx.)

Passo 4

Retornando à expressão para y:
e^{-3x}y = I + C_1 = e^{-3x}\,\frac{-3\sin(2x)-2\cos(2x)}{13} + C_1,
onde escrevi a constante de integração como C_1. Multiplicando por e^{3x},
y(x) = \frac{-3\sin(2x)-2\cos(2x)}{13} + C_1 e^{3x}.
Aqui a primeira parcela é uma solução particular y_p(x) da equação não homogênea e a segunda parcela C_1 e^{3x} é a solução geral da equação homogênea associada y'-3y=0.
Para conferir rapidamente: calcule y_p' e verifique que y_p'-3y_p=\sin(2x). De fato,
y_p(x)=\frac{-3\sin(2x)-2\cos(2x)}{13},
y_p'(x)=\frac{-3\cdot2\cos(2x)-2\cdot(-2)\sin(2x)}{13}=\frac{-6\cos(2x)+4\sin(2x)}{13},
então
y_p'-3y_p=\frac{-6\cos(2x)+4\sin(2x)}{13}-3\cdot\frac{-3\sin(2x)-2\cos(2x)}{13}=\frac{13\sin(2x)}{13}=\sin(2x),
como desejado.

Resposta

y(x)=C e^{3x}+\frac{-3\sin(2x)-2\cos(2x)}{13}

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