Determine a solução geral da equação diferencial ordinária de primeira ordem apresentada abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
e pede a solução geral
. As informações relevantes são:
- é uma equação envolvendo a derivada primeira
e a função ; - o termo do lado direito é
(função conhecida de ); - a incógnita é a função
definida em .
O objetivo é achar a família de todas as funções
que satisfazem essa igualdade para todo
.
Passo 2
Transformar a equação para a forma padrão e escolher um método prático.
Escrevemos a equação na forma
onde, neste caso,
Vou usar o método do fator integrante porque ele é direto para equações da forma acima: multiplica-se a equação por uma função
tal que o lado esquerdo passe a ser a derivada do produto
. O fator integrante é definido por
Aqui
, logo
Multiplicando a equação original por
obtemos
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
; isto é,
Passo 3
Integrar ambos os lados em
. Temos
onde
é constante de integração. Precisamos calcular a integral
Vou calcular
por partes (duas vezes). Defina
Escolha
e
. Então
e
. Assim
Chame a segunda integral de
Então
Agora calcule
por partes: escolha
,
. Então
,
. Assim
Ou seja,
Substitua essa expressão de
na relação para
:
Desenvolvendo,
Isolando
,
Logo
Multiplicando ambos os lados por
,
Para colocar em forma mais simples, combine os fatores:
(É fácil verificar que
e a forma final reduz para denominador
; esta é a forma canônica obtida também aplicando a fórmula conhecida para
.)
Passo 4
Retornando à expressão para
:
onde escrevi a constante de integração como
. Multiplicando por
,
Aqui a primeira parcela é uma solução particular
da equação não homogênea e a segunda parcela
é a solução geral da equação homogênea associada
.
Para conferir rapidamente: calcule
e verifique que
. De fato,
então
como desejado.