Determine a solução geral da equação diferencial ordinária de primeira ordem apresentada abaixo:
y^{\prime}-y=e^{x} y^{2}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial ordinária de primeira ordem dada:
y' - y = e^{x} y^{2}.
Informações que temos e o que é pedido:
  • A equação relaciona y'(x), y(x) e e^{x} y^{2}(x).
  • Foi pedido expressamente a solução geral y(x) (todas as soluções, incluindo eventuais soluções singulares).

Passo 2

Vamos identificar uma estratégia prática: esta equação pode ser escrita na forma
y' - y = e^{x} y^{2}\quad\Longleftrightarrow\quad y' + P(x)y = Q(x)y^{n}
com P(x) = -1, Q(x)=e^{x} e n=2. Essa é a forma do que se chama equação de Bernoulli. A ideia padrão para Bernoulli é transformar a equação não linear em uma linear usando a substituição
z = y^{\,1-n}.
Aqui, como n=2, tomamos
z = y^{\,1-2} = y^{-1} = \frac{1}{y}.
Vou explicar por que essa substituição funciona e como aplicá‑la passo a passo.

Passo 3

Primeiro, calcule a derivada de z em termos de y e y'. Como z = y^{-1},
z' = -y^{-2} y' = -\frac{y'}{y^{2}}.
Da equação original isolamos y':
y' = y + e^{x} y^{2}.
Substituindo em z':
z' = -\frac{y + e^{x} y^{2}}{y^{2}} = -\frac{y}{y^{2}} - \frac{e^{x} y^{2}}{y^{2}} = -\frac{1}{y} - e^{x}.
Como \dfrac{1}{y}=z, obtemos a equação linear para z:
z' + z = -e^{x}.

Passo 4

Agora resolvemos a equação linear de primeira ordem
z' + z = -e^{x}.
Recordando o método do fator integrante: para uma equação z' + p(x) z = q(x) o fator integrante é \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}. Aqui p(x)=1, logo
\mu(x)=e^{\int 1\,dx}=e^{x}.
Multiplicando a equação por e^{x} obtemos uma derivada exata:
e^{x} z' + e^{x} z = (e^{x} z)' = -e^{x}\cdot e^{x} = -e^{2x}.
Integrando ambos os lados em relação a x,
e^{x} z = \int -e^{2x}\,dx = -\frac{1}{2} e^{2x} + C,
onde C é constante arbitrária de integração.

Passo 5

Isolando z,
z = -\tfrac{1}{2} e^{x} + C e^{-x}.
Voltando à variável original y pela relação z=1/y, obtemos
\frac{1}{y} = -\tfrac{1}{2} e^{x} + C e^{-x}.
Invertendo,
y = \frac{1}{C e^{-x} - \tfrac{1}{2} e^{x}}.
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por 2e^{x}:
y = \frac{2 e^{x}}{2C - e^{2x}}.
Renomeando a constante arbitrária K=2C (sempre permitido), uma forma elegante da solução geral é
y(x) = \frac{2 e^{x}}{K - e^{2x}},
onde K é constante arbitrária real.

Passo 6

Devemos lembrar duas coisas importantes:
  1. A substituição z=1/y exclui a possível solução y\equiv 0. Verifique substituindo y=0 na equação original: y'=0 e e^{x} y^{2}=0, então 0-0=0. Logo y\equiv 0 é, de fato, uma solução (solução singula) que precisa ser incluída.
  2. Nos pontos onde o denominador K - e^{2x}=0 a solução expressa explode (singularidade vertical); isso indica que soluções com dado K têm domínio restringido (intervalos nos quais o denominador não se anula). Mas isso não gera novas soluções, apenas limita o domínio.

Resposta

y(x)=0
y(x)=\dfrac{2 e^{x}}{K - e^{2x}},\quad K\in\mathbb{R}

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