Determine a solução geral da equação diferencial ordinária de primeira ordem apresentada abaixo:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial ordinária de primeira ordem dada:
Informações que temos e o que é pedido:
- A equação relaciona
, e . - Foi pedido expressamente a solução geral
(todas as soluções, incluindo eventuais soluções singulares).
Passo 2
Vamos identificar uma estratégia prática: esta equação pode ser escrita na forma
com
,
e
. Essa é a forma do que se chama equação de Bernoulli. A ideia padrão para Bernoulli é transformar a equação não linear em uma linear usando a substituição
Aqui, como
, tomamos
Vou explicar por que essa substituição funciona e como aplicá‑la passo a passo.
Passo 3
Primeiro, calcule a derivada de
em termos de
e
. Como
,
Da equação original isolamos
:
Substituindo em
:
Como
, obtemos a equação linear para
:
Passo 4
Agora resolvemos a equação linear de primeira ordem
Recordando o método do fator integrante: para uma equação
o fator integrante é
. Aqui
, logo
Multiplicando a equação por
obtemos uma derivada exata:
Integrando ambos os lados em relação a
,
onde
é constante arbitrária de integração.
Passo 5
Isolando
,
Voltando à variável original
pela relação
, obtemos
Invertendo,
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por
:
Renomeando a constante arbitrária
(sempre permitido), uma forma elegante da solução geral é
onde
é constante arbitrária real.
Passo 6
Devemos lembrar duas coisas importantes:
- A substituição
exclui a possível solução . Verifique substituindo na equação original: e , então . Logo é, de fato, uma solução (solução singula) que precisa ser incluída. - Nos pontos onde o denominador
a solução expressa explode (singularidade vertical); isso indica que soluções com dado têm domínio restringido (intervalos nos quais o denominador não se anula). Mas isso não gera novas soluções, apenas limita o domínio.