Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
\frac{d y}{d x}+y=x y^{3 / 4}$$
 
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial de Bernoulli dada por:
Este tipo de equação pertence à matéria de equações diferenciais, mais especificamente às equações de Bernoulli. Para resolver, precisamos utilizar uma substituição que simplifica a equação para uma forma linear.
Passo 2
Primeiro, identificamos que a equação está na forma padrão de Bernoulli:
Aqui, 
 , 
  e 
 .
Passo 3
Como a equação de Bernoulli tem 
 , fazemos a substituição:
Isso simplifica a equação.
Passo 4
Derivamos 
  em relação a 
 :
Resolviendo para 
 :
Passo 5
Substituímos 
  e 
  na equação original:
Dividimos ambos os lados por 
 :
Passo 6
Como 
 , substituímos na equação:
Agora, temos uma equação linear em termos de 
 .
Passo 7
Para resolver a equação linear 
 , reescrevemos como:
Identificamos o fator integrante:
Passo 8
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
O lado esquerdo se torna a derivada do produto 
 :
Passo 9
Integrando ambos os lados em relação a 
 :
Usamos a integração por partes para resolver a integral.
Passo 10
Aplicando integração por partes onde 
  e 
 :
Passo 11
Substituindo de volta na equação:
Dividimos ambos os lados por 
 :
Passo 12
Lembrando que 
 , temos:
Elevamos ambos os lados à quarta potência para resolver para 
 :
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: