Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}-\frac{1}{\frac{d y}{d x}}$$
Res.: 
  tal que 
 .
Res.:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para encontrar tanto a solução geral quanto a solução singular de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo Clairaut. A EDO que vamos resolver é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma EDO de Clairaut e como encontrar suas soluções geral e singular. Então, vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma EDO de Clairaut. Ela tem a forma geral:
Onde 
  e 
  é uma função de 
 . No nosso caso, comparando com a equação dada:
Aqui, 
 .
Passo 3
Para encontrar a solução geral, seguimos a fórmula padrão para EDOs de Clairaut. A solução geral é dada por:
Onde 
  é uma constante arbitrária. Substituindo 
  na nossa equação:
Essa é a solução geral da nossa EDO de Clairaut.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a solução singular. A solução singular é uma solução especial que não faz parte da família de soluções gerais, e geralmente é obtida eliminando o parâmetro 
 .
Primeiro, derivamos a solução geral em relação a 
 :
Agora, substituímos 
  na equação original da EDO:
Para eliminar 
 , vamos expressar 
  em termos de 
  e 
 . A partir da derivada, sabemos que 
 . Vamos considerar 
 , então:
Passo 5
Para encontrar a solução singular, buscamos uma relação entre 
  e 
  que não dependa de 
 . Fazemos isso derivando a equação acima em relação a 
 :
Simplificando:
Isolando 
 :
Para que essa equação seja verdadeira, ou 
  ou 
 . A solução singular ocorre quando 
 :
Passo 6
Agora, substituímos 
  na equação da solução geral para encontrar 
 :
Substituindo 
 :
Resposta
A solução geral da EDO é:
A solução singular é dada por:
Onde 
 .