Determine a solução geral das equações de Cauchy-Euler não homogêneas, para
.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de Cauchy-Euler não homogênea:
, para
. A matéria envolvida aqui é a resolução de equações diferenciais de Cauchy-Euler, que são um tipo especial de equações diferenciais lineares. Para resolver, a gente vai precisar encontrar a solução geral, que inclui a solução da parte homogênea e uma solução particular da parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
.
Nas equações de Cauchy-Euler, fazemos a substituição
, onde
é um número que vamos determinar. Vamos calcular as derivadas:
Substituindo na equação homogênea:
Simplificando:
Fatorando
:
Como
para
, temos a equação característica:
Resolvendo a equação do segundo grau:
Então, a solução geral da parte homogênea é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea:
.
Para isso, vamos usar o método da variação de parâmetros. Primeiro, precisamos das soluções da homogênea, que já encontramos:
e
.
A solução particular
será da forma:
Onde
e
são funções a serem determinadas. Para encontrá-las, usamos as seguintes fórmulas:
Aqui,
é o lado direito da equação dividida por
, ou seja,
, e
é o Wronskiano das soluções homogêneas.
Calculando o Wronskiano
:
Agora, calculamos
e
:
Integrando para encontrar
e
:
A integral de
não tem uma forma elementar, então vamos fazer uma aproximação. Geralmente, para casos como esse, usamos séries ou reconhecemos que a solução particular pode ser expressa de outra maneira. Porém, para simplificar, vamos considerar que
envolve uma função especial e focar na estrutura da solução.
Assim, a solução particular fica:
Portanto, a solução geral é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.