Encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
y'' - raiz(8) y' + 2 y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 0

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial com as condições iniciais y(0) = 1 e . Aqui, estamos trabalhando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar as raízes da equação característica associada e usar as condições iniciais para determinar os coeficientes da solução particular.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação característica associada à equação diferencial. A equação característica é obtida substituindo por , por r e y por 1:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática para encontrar as raízes r. Usamos a fórmula de Bhaskara:

Passo 4

Calculamos o discriminante Delta:
Como o discriminante é zero, temos uma raiz real dupla.

Passo 5

Com , a raiz é:
Portanto, a raiz dupla é .

Passo 6

Como temos uma raiz real dupla, a solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 7

Aplicamos a condição inicial y(0) = 1 na solução geral:

Passo 8

Agora, derivamos a solução geral para encontrar :
Aplicamos a condição :

Passo 9

Substituímos os valores de e na solução geral:

Resposta

A solução particular é .

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