Encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
e
. Aqui, estamos trabalhando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar as raízes da equação característica associada e usar as condições iniciais para determinar os coeficientes da solução particular.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a equação característica associada à equação diferencial. A equação característica é obtida substituindo
por
,
por
e
por
:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática
para encontrar as raízes
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Passo 4
Calculamos o discriminante
:
Como o discriminante é zero, temos uma raiz real dupla.
Passo 5
Com
, a raiz é:
Portanto, a raiz dupla é
.
Passo 6
Como temos uma raiz real dupla, a solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
na solução geral:
Passo 8
Agora, derivamos a solução geral para encontrar
:
Aplicamos a condição
:
Passo 9
Substituímos os valores de
e
na solução geral:
Resposta
A solução particular é
.