Determine a solução geral do problema de valor inicial dado:
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 \cdot \frac{d y}{d x}+y=x e^{x}+4, y(0)=1, \frac{d y}{d x}(0)=1

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do problema de valor inicial
y'' - 2y' + y = x e^x + 4,\quad y(0)=1,\;y'(0)=1.
O conteúdo aqui é resolver uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes, usando a soma da solução homogênea e de uma particular (método dos coeficientes indeterminados), e então impor as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro achamos a solução homogênea y_h. A equação característica é
r^2 - 2r + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (r-1)^2 = 0 \quad\implies\; r=1\text{ (raiz dupla)}.
Logo
y_h = C_1 e^x + C_2\,x e^x.

Passo 3

Agora buscamos uma particular y_{p1} para o termo x e^x. Como e^x e x e^x já aparecem em y_h, multiplicamos por x^2 e chutamos
y_{p1} = e^x\bigl(a x^3 + b x^2\bigr).
Calculando y_{p1}'' - 2y_{p1}' + y_{p1} obtém-se
y_{p1}'' - 2y_{p1}' + y_{p1} = e^x\bigl(6a\,x + 2b\bigr).
Para igualar a x e^x precisamos
6a\,x + 2b = x \quad\Longrightarrow\quad 6a = 1,\;2b=0 \quad\Longrightarrow\quad a=\tfrac16,\;b=0.
Portanto
y_{p1} = \tfrac{1}{6}\,x^3 e^x.

Passo 4

Em seguida buscamos uma particular y_{p2} para o termo constante 4. Chutamos y_{p2}=D. Então
y_{p2}''-2y_{p2}'+y_{p2} = D = 4 \quad\Longrightarrow\quad D=4.
Logo
y_{p2}=4.

Passo 5

A solução geral é
y(x) = y_h + y_{p1} + y_{p2} = C_1 e^x + C_2\,x e^x + \tfrac{1}{6}x^3 e^x + 4.
Para y(0)=1 temos
y(0)=C_1 + 4 = 1 \quad\Longrightarrow\quad C_1 = -3.
Derivando
y' = C_1 e^x + C_2 e^x + C_2 x e^x + \tfrac{1}{6}(3x^2 e^x + x^3 e^x),
e impondo y'(0)=1 fica
y'(0) = C_1 + C_2 = 1 \quad\Longrightarrow\quad -3 + C_2 = 1 \quad\Longrightarrow\quad C_2 = 4.

Resposta

\boxed{y(x) = \bigl(-3 + 4x + \tfrac{1}{6}x^3\bigr)e^x + 4.}

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