Determine a solução geral das seguintes EDOs. Nesta questão supomos que y=y(x).
3 y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+6 y=0

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral da EDO homogênea linear de segunda ordem com coeficientes constantes
3\,y''+6\,y'+6\,y=0,
onde y=y(x).
Informações dadas: a equação diferencial e que y é função de x.
Pergunta: determinar a solução geral y(x) (ou seja, a família de todas as soluções, com constantes arbitrárias).

Passo 2

Primeiro passo técnico padrão para EDOs lineares com coeficientes constantes: montar a equação característica (ou polinômio característico). Substituímos y\mapsto e^{r x} e obtemos o polinômio em r:
3r^{2}+6r+6=0.

Passo 3

Simplifico o polinômio dividindo por 3 (isso não muda as raízes, só facilita cálculos):
r^{2}+2r+2=0.
Agora vamos encontrar as raízes desse polinômio quadrático.

Passo 4

Calculo do discriminante \Delta do quadrático \,r^{2}+2r+2:
\Delta = b^{2}-4ac = 2^{2}-4\cdot1\cdot2 = 4-8 = -4.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas. Uso a fórmula de Bhaskara para obter as raízes:
r = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{-2 \pm 2i}{2} = -1 \pm i.
Portanto as raízes são r_{1}=-1+i e r_{2}=-1-i.

Passo 5

Agora uma explicação importante sobre o que fazemos quando as raízes da equação característica são complexas conjugadas. Se as raízes são
r=\alpha\pm i\beta
com \alpha,\beta\in\mathbb{R} e \beta\neq0, a teoria diz que a solução geral real da EDO homogênea é dada por uma combinação linear de duas soluções reais independentes:
y(x)=e^{\alpha x}\big(C_{1}\cos(\beta x)+C_{2}\sin(\beta x)\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (os coeficientes reais que garantem que y seja real). Aqui e^{\alpha x} vem da parte real da raiz e os \cos e \sin vêm das partes imaginárias (usando a fórmula de Euler e^{i\beta x}=\cos(\beta x)+i\sin(\beta x)).

Passo 6

Aplicando isso ao nosso caso: das raízes obtivemos \alpha=-1 e \beta=1. Assim, pela regra explicada no passo anterior a forma geral da solução real será uma exponencial e^{-x} multiplicando uma combinação linear de \cos x e \sin x. Não coloco aqui a resposta final completa porque a seção de resposta pedida deve conter apenas a solução final.

Passo 7

Para ficar tranquilo quanto à validade: se tomarmos
y(x)=e^{\alpha x}\big(C_{1}\cos(\beta x)+C_{2}\sin(\beta x)\big)
e derivarmos, usamos regra do produto e derivadas de seno/cosseno. As derivadas são
y'(x)=e^{\alpha x}\big[(\alpha C_{1}+\beta C_{2})\cos(\beta x)+(\alpha C_{2}-\beta C_{1})\sin(\beta x)\big],
y''(x)=e^{\alpha x}\big[(\alpha^{2}-\beta^{2})C_{1}+2\alpha\beta C_{2}\big]\cos(\beta x)+e^{\alpha x}\big[(\alpha^{2}-\beta^{2})C_{2}-2\alpha\beta C_{1}\big]\sin(\beta x).
Substituindo essas expressões em 3y''+6y'+6y e fatorando e^{\alpha x} e as combinações em \cos(\beta x) e \sin(\beta x), obtemos coeficientes multiplicados por C_{1} e C_{2} que envolvem o polinômio característico avaliado em r=\alpha\pm i\beta. Como escolhemos \alpha,\beta correspondentes às raízes, esses coeficientes se anulam e a combinação dá zero, confirmando que a forma dada produz soluções da EDO.

Passo 8

Resumo da ideia prática que você pode usar na prova: (i) escrever a equação característica, (ii) achar as raízes, (iii) se forem complexas -1\pm i, aplicar a fórmula padrão e^{\alpha x}(C_{1}\cos\beta x+C_{2}\sin\beta x) com \alpha e \beta obtidos. É um procedimento mecânico que, com prática, fica rápido — e funciona sem calculadora.

Resposta

y(x)=e^{-x}\big(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\big), onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

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