Determine a solução geral das seguintes EDOs. Nesta questão supomos que
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral da EDO homogênea linear de segunda ordem com coeficientes constantes
onde
.
Informações dadas: a equação diferencial e que é função de
.
Pergunta: determinar a solução geral (ou seja, a família de todas as soluções, com constantes arbitrárias).
Informações dadas: a equação diferencial e que
Pergunta: determinar a solução geral
Passo 2
Primeiro passo técnico padrão para EDOs lineares com coeficientes constantes: montar a equação característica (ou polinômio característico). Substituímos
e obtemos o polinômio em
:
Passo 3
Simplifico o polinômio dividindo por
(isso não muda as raízes, só facilita cálculos):
Agora vamos encontrar as raízes desse polinômio quadrático.
Passo 4
Calculo do discriminante
do quadrático
:
Como
, as raízes são complexas conjugadas. Uso a fórmula de Bhaskara para obter as raízes:
Portanto as raízes são
e
.
Passo 5
Agora uma explicação importante sobre o que fazemos quando as raízes da equação característica são complexas conjugadas. Se as raízes são
com
e
, a teoria diz que a solução geral real da EDO homogênea é dada por uma combinação linear de duas soluções reais independentes:
onde
e
são constantes arbitrárias (os coeficientes reais que garantem que
seja real). Aqui
vem da parte real da raiz e os
e
vêm das partes imaginárias (usando a fórmula de Euler
).
Passo 6
Aplicando isso ao nosso caso: das raízes obtivemos
e
. Assim, pela regra explicada no passo anterior a forma geral da solução real será uma exponencial
multiplicando uma combinação linear de
e
. Não coloco aqui a resposta final completa porque a seção de resposta pedida deve conter apenas a solução final.
Passo 7
Para ficar tranquilo quanto à validade: se tomarmos
e derivarmos, usamos regra do produto e derivadas de seno/cosseno. As derivadas são
Substituindo essas expressões em
e fatorando
e as combinações em
e
, obtemos coeficientes multiplicados por
e
que envolvem o polinômio característico avaliado em
. Como escolhemos
correspondentes às raízes, esses coeficientes se anulam e a combinação dá zero, confirmando que a forma dada produz soluções da EDO.
Passo 8
Resumo da ideia prática que você pode usar na prova: (i) escrever a equação característica, (ii) achar as raízes, (iii) se forem complexas
, aplicar a fórmula padrão
com
e
obtidos. É um procedimento mecânico que, com prática, fica rápido — e funciona sem calculadora.