Determine a solução geral das seguintes EDOs. Nesta questão supomos que y=y(x). y y^{\prime \prime}-\left(y^{\prime}\right)^{2}+\left(y^{\prime}\right)^{3}=0
Passo 1
O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial ordinária
y\,y''-(y')^{2}+(y')^{3}=0,
onde y=y(x). Informações dadas essenciais:
\text{Dado: }y\,y''-(y')^{2}+(y')^{3}=0.
Queremos encontrar todas as funções y(x) que satisfazem essa identidade, ou seja, a família geral de soluções com as constantes de integração necessárias. Não há outros dados (condições iniciais) — então buscamos a solução geral com duas constantes arbitrárias.
Passo 2
Redução de ordem usando p(x)=y'(x) e tratando p como função de y. Explico a ideia: se escrevemos p=p(y) (ou seja, supondo p dependente de y), podemos usar a regra da cadeia para transformar y'' em derivada de p em relação a y. A regra da cadeia dá:
onde C_2 é outra constante de integração. Essa relação é a solução implícita geral para y(x) quando p\neq 0.
Passo 9
Interpretação final e comentários. Temos duas formas da solução geral:
Soluções constantes y(x)=C_1, que surgiram do caso p\equiv 0.
Solução implícita com duas constantes K e C_2:
\ln|y| + K y = K x + C_2,
onde K e C_2 são constantes arbitrárias (note que K=0 reduz ao caso constante: se K=0 obtemos \ln|y|=C_2\Rightarrow y= constante). Podemos renomear as constantes à vontade; por exemplo escrever A no lugar de K e B no lugar de C_2.
Resposta
Soluções constantes: y(x)=C_1.\nSolução geral implícita: \ln|y|+A y = A x + B, com A,B constantes arbitrárias.