Determine a solução geral das seguintes EDOs. Nesta questão supomos que y=y(x).
y y^{\prime \prime}-\left(y^{\prime}\right)^{2}+\left(y^{\prime}\right)^{3}=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial ordinária
y\,y''-(y')^{2}+(y')^{3}=0,
onde y=y(x). Informações dadas essenciais:
\text{Dado: }y\,y''-(y')^{2}+(y')^{3}=0.
Queremos encontrar todas as funções y(x) que satisfazem essa identidade, ou seja, a família geral de soluções com as constantes de integração necessárias. Não há outros dados (condições iniciais) — então buscamos a solução geral com duas constantes arbitrárias.

Passo 2

Redução de ordem usando p(x)=y'(x) e tratando p como função de y. Explico a ideia: se escrevemos p=p(y) (ou seja, supondo p dependente de y), podemos usar a regra da cadeia para transformar y'' em derivada de p em relação a y. A regra da cadeia dá:
y''=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}=p\,\frac{dp}{dy}.
Substituindo na EDO original obtemos uma equação em p e y.

Passo 3

Substituição na equação original. Substituindo y''=p\,\dfrac{dp}{dy} e y'=p em \;y\,y''-(y')^{2}+(y')^{3}=0\;, temos
y\left(p\frac{dp}{dy}\right)-p^{2}+p^{3}=0.
Simplificando:
p\left(y\frac{dp}{dy}-p+p^{2}\right)=0.
Da fatoração temos duas possibilidades a considerar separadamente: p=0 ou y\frac{dp}{dy}-p+p^{2}=0.

Passo 4

Caso p=0. Lembre que p=y'. Se p\equiv 0 então y'=0 e, integrando,
y(x)=C_1,
onde C_1 é constante arbitrária. Essa é uma família de soluções constantes.

Passo 5

Caso p\neq 0. Então resolvemos
y\frac{dp}{dy}-p+p^{2}=0.
Reescrevendo:
y\frac{dp}{dy}=p-p^{2}=p(1-p).
Agora separamos variáveis para p(y):
\frac{dp}{p(1-p)}=\frac{dy}{y}.
Vou integrar ambos os lados. Para integrar o lado esquerdo usamos frações parciais:
\frac{1}{p(1-p)}=\frac{1}{p}+\frac{1}{1-p}.
Portanto
\int\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{1-p}\right)dp=\int\frac{dy}{y}.

Passo 6

Integração explícita. Calcule as integrais:
\int\frac{1}{p}\,dp=\ln|p|, \qquad \int\frac{1}{1-p}\,dp=-\ln|1-p|, \qquad \int\frac{1}{y}\,dy=\ln|y|.
Somando os dois termos à esquerda obtemos
\ln|p|-\ln|1-p|=\ln|y|+C,
onde C é constante de integração. Usando propriedades dos logaritmos,
\ln\left|\frac{p}{1-p}\right|=\ln|y|+C.
Exponenciando e absorvendo e^{C} numa constante positiva K\neq 0, ficamos com
\frac{p}{1-p}=K\,y.

Passo 7

Resolver para p em função de y. Da igualdade \dfrac{p}{1-p}=K y segue:
p = K y(1-p)\quad\Rightarrow\quad p(1+K y)=K y.
Logo
p=\frac{K y}{1+K y}.
Lembrando p=y', temos a equação de primeira ordem separável
\frac{dy}{dx}= \frac{K y}{1+K y}.

Passo 8

Resolver a equação separável para y(x). Separe variáveis:
\frac{1+K y}{y}\,dy=K\,dx.
Escrevendo \dfrac{1+K y}{y}=\dfrac{1}{y}+K, integramos:
\int\left(\frac{1}{y}+K\right)dy = \int K\,dx.
As integrais dão
\ln|y| + K y = K x + C_2,
onde C_2 é outra constante de integração. Essa relação é a solução implícita geral para y(x) quando p\neq 0.

Passo 9

Interpretação final e comentários. Temos duas formas da solução geral:
  • Soluções constantes y(x)=C_1, que surgiram do caso p\equiv 0.
  • Solução implícita com duas constantes K e C_2:
\ln|y| + K y = K x + C_2,
onde K e C_2 são constantes arbitrárias (note que K=0 reduz ao caso constante: se K=0 obtemos \ln|y|=C_2\Rightarrow y= constante). Podemos renomear as constantes à vontade; por exemplo escrever A no lugar de K e B no lugar de C_2.

Resposta

Soluções constantes: y(x)=C_1.\nSolução geral implícita: \ln|y|+A y = A x + B, com A,B constantes arbitrárias.

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