Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais de ordem 2
y'' + 4y' + 13y = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem, que é tipo uma equação que envolve a função que queremos descobrir e suas derivadas até a segunda ordem. Aqui, a equação é . Para resolver isso, vamos precisar usar a equação característica e entender um pouco sobre números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar essa equação diferencial em uma equação algébrica chamada equação característica. Para uma equação da forma , a característica é . No nosso caso, e , então a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo ( ), as raízes serão complexas.

Passo 4

Com raízes complexas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde é a parte real e é a parte imaginária das raízes. No nosso caso, as raízes são:
Então, e . Colocando esses valores na fórmula:

Resposta

A solução geral da equação é
onde e são constantes arbitrárias.

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