Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais de ordem 2
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem, que é tipo uma equação que envolve a função que queremos descobrir e suas derivadas até a segunda ordem. Aqui, a equação é
. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação característica e entender um pouco sobre números complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar essa equação diferencial em uma equação algébrica chamada equação característica. Para uma equação da forma
, a característica é
. No nosso caso,
e
, então a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo (
), as raízes serão complexas.
Passo 4
Com raízes complexas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde
é a parte real e
é a parte imaginária das raízes. No nosso caso, as raízes são:
Então,
e
. Colocando esses valores na fórmula:
Resposta
A solução geral da equação é
onde
e
são constantes arbitrárias.