Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais de ordem 2
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a solução geral da equação diferencial de segunda ordem
. Isso tá dentro do conteúdo de equações diferenciais ordinárias de ordem 2 com coeficientes constantes. Pra resolver, a gente vai precisar entender como achar as raízes da equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação característica dessa equação diferencial. Pra equações do tipo
, a equação característica é
.
Passo 3
No nosso caso, a equação diferencial é
. Comparando com o modelo geral, vemos que
e
. Então, a equação característica fica:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes
. Fatorando, temos:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 5
Como as raízes são reais e diferentes, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo
e
: