Determine a solução geral das seguintes equações:
\left(x^{2}-1\right) y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 y=\left(x^{2}-1\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação linear de segunda ordem com coeficientes variáveis
(x^{2}-1)\,y''-2x\,y'+2y=(x^{2}-1)^{2}.
Vamos primeiro resolver a equação homogênea associada
(x^{2}-1)\,y''-2x\,y'+2y=0
e depois encontrar uma solução particular da não-homogênea por coeficientes indeterminados.

Passo 2

Buscamos uma primeira solução da homogênea por tentativa. Seja
y_{1}(x)=x.
Verificamos:
y_{1}'=1,\quad y_{1}''=0,
então
(x^{2}-1)\cdot0-2x\cdot1+2\cdot x=-2x+2x=0,
logo y_{1}(x)=x é solução. Para achar a segunda solução, aplicamos redução de ordem definindo
y_{2}(x)=u(x)\,y_{1}(x)=u(x)\,x.
Substituindo na homogênea e simplificando, chega-se à equação para w=u':
x(x^{2}-1)\,w'-2\,w=0\quad\Longrightarrow\quad \frac{w'}{w}=\frac{2}{x(x^{2}-1)}.

Passo 3

Integramos
\ln|w|=\int\frac{2}{x(x^{2}-1)}\,dx =\int\Bigl(-\frac{2}{x}+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}\Bigr)dx =\ln\!\Bigl|\frac{x^{2}-1}{x^{2}}\Bigr|+C,
logo
w=u' =K\,\frac{x^{2}-1}{x^{2}}.
Tomando K=1 para obter uma solução,
u(x)=\int\Bigl(1-\frac{1}{x^{2}}\Bigr)\,dx=x+\frac{1}{x},
e assim
y_{2}(x)=x\,u(x)=x^{2}+1.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}\,x+C_{2}\,(x^{2}+1).

Passo 4

Para uma solução particular y_{p} usamos coeficientes indeterminados e propomos polinômio de grau 4:
y_{p}=Ax^{4}+Bx^{3}+Cx^{2}+Dx+E.
Calculamos
y_{p}'=4Ax^{3}+3Bx^{2}+2Cx+D,\quad y_{p}''=12Ax^{2}+6Bx+2C
e substituímos em
(x^{2}-1)y_{p}''-2x\,y_{p}'+2y_{p}=x^{4}-2x^{2}+1.
Ao agrupar coeficientes de x^{4},x^{3},x^{2},x^{1}, e termo constante, obtemos
6A=1,\quad 2B=0,\quad -12A=-2,\quad -6B=0,\quad -2C+2E=1.
Dessas igualdades vem
A=\frac{1}{6},\;B=0,\;-12\!\cdot\!\frac{1}{6}=-2\\ (\text{ok}),\;E=C+\tfrac12.
Podemos escolher C=0 (qualquer outra escolha ajusta-se na homogênea) e D=0. Assim
y_{p}(x)=\frac{1}{6}x^{4}+\frac12.

Passo 5

A solução geral da equação dada é
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x) =C_{1}\,x+C_{2}\,(x^{2}+1)+\frac{x^{4}}{6}+\frac12,
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_{1}\,x+C_{2}\,(x^{2}+1)+\frac{x^{4}}{6}+\frac12.

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