Determine a solução geral das seguintes equações:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação linear de segunda ordem com coeficientes variáveis
Vamos primeiro resolver a equação homogênea associada
e depois encontrar uma solução particular da não-homogênea por coeficientes indeterminados.
Passo 2
Buscamos uma primeira solução da homogênea por tentativa. Seja
Verificamos:
então
logo
é solução. Para achar a segunda solução, aplicamos redução de ordem definindo
Substituindo na homogênea e simplificando, chega-se à equação para
:
Passo 3
Integramos
logo
Tomando
para obter uma solução,
e assim
Portanto a solução geral da homogênea é
Passo 4
Para uma solução particular
usamos coeficientes indeterminados e propomos polinômio de grau 4:
Calculamos
e substituímos em
Ao agrupar coeficientes de
e termo constante, obtemos
Dessas igualdades vem
Podemos escolher
(qualquer outra escolha ajusta-se na homogênea) e
. Assim
Passo 5
A solução geral da equação dada é
onde
e
são constantes arbitrárias.