Determine a solução geral das seguintes equações:
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=e^{-x} \operatorname{sec} 2 x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem
y'' + 2y' + 5y = e^{-x}\operatorname{sec} 2x.
O conteúdo é resolução de EDOs lineares com coeficientes constantes; vamos obter primeiro a solução geral da homogênea e depois um particular por variação de parâmetros.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' + 2y' + 5y = 0.
Seu polinômio característico é
r^2 + 2r + 5 = 0,
cuja raiz é
r = -1 \pm 2i.
Logo a solução geral da homogênea é
y_h = e^{-x}\bigl(C_1\cos 2x + C_2\sin 2x\bigr).

Passo 3

Usamos variação de parâmetros com y_1 = e^{-x}\cos 2x e y_2 = e^{-x}\sin 2x. O Wronskiano vale
W = y_1y_2' - y_2y_1' = 2e^{-2x}.
As fórmulas de variação de parâmetros são
u_1' = -\frac{f(x)\,y_2}{W},\qquad u_2' = \frac{f(x)\,y_1}{W},
onde f(x)=e^{-x}\operatorname{sec} 2x.

Passo 4

Calculando
u_1' = -\frac{e^{-x}\sec2x\,(e^{-x}\sin2x)}{2e^{-2x}} = -\frac12\tan2x, \qquad u_2' = \frac{e^{-x}\sec2x\,(e^{-x}\cos2x)}{2e^{-2x}} = \frac12.
Integramos:
u_1 = -\frac12\int \tan2x\,dx = -\frac12\Bigl(-\frac12\ln\lvert\cos2x\rvert\Bigr) = \frac14\ln\lvert\cos2x\rvert,
u_2 = \int \frac12\,dx = \frac x2.

Passo 5

O particular é
y_p = u_1\,y_1 + u_2\,y_2 = \frac14\ln\lvert\cos2x\rvert\,e^{-x}\cos2x + \frac x2\,e^{-x}\sin2x.
Assim a solução geral é
y = y_h + y_p = e^{-x}\bigl(C_1\cos2x + C_2\sin2x\bigr) + \frac14e^{-x}\cos2x\ln\lvert\cos2x\rvert + \frac x2\,e^{-x}\sin2x.

Resposta

\boxed{y(x) = e^{-x}\bigl(C_1\cos2x + C_2\sin2x\bigr) + \frac14e^{-x}\cos2x\ln\lvert\cos2x\rvert + \frac x2\,e^{-x}\sin2x.}

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