Resolva.
y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime}=\operatorname{sec} x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y''' + y' = \operatorname{sec} x
que é uma EDO linear de ordem 3 com coeficientes constantes. Para resolver, vamos achar a solução geral da equação homogênea e depois uma solução particular da não homogênea usando redução de ordem e variação de parâmetros.

Passo 2

A parte homogênea é
y''' + y' = 0.
O polinômio característico é r^3 + r = r(r^2+1)=0, com raízes r=0, r=i, r=-i. Logo, a solução homogênea é
y_h = C_1 + C_2\cos x + C_3\sin x.

Passo 3

Para facilitar a busca de uma solução particular, integramos a equação original uma vez:
\int (y'''+y')\,dx \;=\;\int \operatorname{sec} x\,dx
que dá
y'' + y = \ln\bigl|\operatorname{sec} x + \tan x\bigr|,
descartando a constante de integração, pois ela pode ser absorvida em y_h.

Passo 4

Agora resolvemos a EDO de segunda ordem
y'' + y = \ln\bigl|\operatorname{sec} x + \tan x\bigr|
cuja homogênea tem solução A\cos x + B\sin x. Para uma particular, usamos variação de parâmetros definindo
y_p = u_1(x)\cos x + u_2(x)\sin x,
com condições
u_1'(x)\cos x + u_2'(x)\sin x = 0, \quad -u_1'(x)\sin x + u_2'(x)\cos x = \ln\bigl|\operatorname{sec} x + \tan x\bigr|.

Passo 5

O Wronskiano é 1, então
u_1'(x) = -\ln\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr|\;\sin x, \quad u_2'(x) = \ln\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr|\;\cos x.
Integramos por partes:
\int \sin x\,\ln\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr|\,dx = -\cos x\,\ln\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr| + x,
\int \cos x\,\ln\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr|\,dx = \sin x\,\ln\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr| + \ln\bigl|\cos x\bigr|.
Logo
u_1(x)=\cos x\,\ln\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr| - x, \quad u_2(x)=\sin x\,\ln\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr| + \ln\bigl|\cos x\bigr|.

Passo 6

As soluções particulares são
y_p = u_1\cos x + u_2\sin x = \ln\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr| - x\cos x + \sin x\,\ln\bigl|\cos x\bigr|.

Passo 7

Portanto, a solução geral da não homogênea é
y(x) = C_1 + C_2\cos x + C_3\sin x + \ln\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr| - x\cos x + \sin x\,\ln\bigl|\cos x\bigr|.

Resposta

y(x) = C_1 + C_2\cos x + C_3\sin x + \ln\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr| \;-\; x\cos x \;+\; \sin x\,\ln\bigl|\cos x\bigr|.

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