Determine a solução geral das seguintes equações:
\quad\left(x^{2}+x\right) y^{\prime \prime}+\left(2-x^{2}\right) y^{\prime}-(2+x) y=x(x+1)^{2}

Passo 1

Resumindo, temos a equação diferencial não homogênea de segunda ordem
(x^2 + x)\,y'' + (2 - x^2)\,y' - (2 + x)\,y = x(x+1)^2
que, ao dividir por x(x+1), fica em forma padrão
y'' + p(x)\,y' + q(x)\,y = g(x),
onde
p(x) = \frac{2 - x^2}{x(x+1)},\quad q(x) = -\frac{2 + x}{x(x+1)},\quad g(x) = \frac{x(x+1)^2}{x(x+1)} = x+1.
O plano é primeiro achar a solução geral y_h da equação homogênea e depois uma solução particular y_p.

Passo 2

Procuramos uma solução simples da homogênea
(x^2 + x)\,y'' + (2 - x^2)\,y' - (2 + x)\,y = 0.
Testando y_1 = 1/x, temos
y_1' = -\frac1{x^2},\quad y_1'' = \frac{2}{x^3}.
Substituindo na equação original (sem o termo g), verifica-se que o lado esquerdo zera, logo
y_1(x) = \frac1{x}
é uma solução da homogênea.

Passo 3

Para achar a segunda solução y_2 usamos redução de ordem. Na forma padrão
y'' + p(x)y' + q(x)y = 0,
a fórmula dá
y_2 = y_1 \int \frac{e^{-\int p(x)\,dx}}{y_1^2}\,dx.
Calculamos primeiro
p(x) = \frac{2 - x^2}{x(x+1)} = -1 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x+1},
portanto
\int p(x)\,dx = -x + 2\ln|x| - \ln|x+1| + C \quad\Longrightarrow\quad e^{-\int p} = e^x\,\frac{x+1}{x^2}.
Como y_1 = 1/x, temos y_1^2 = 1/x^2, então
\frac{e^{-\int p}}{y_1^2} = e^x\,(x+1).
Integrando
\int e^x(x+1)\,dx = x e^x,
obtém-se
y_2 = y_1\cdot x e^x = \frac1{x}\,x e^x = e^x.

Passo 4

A solução geral da homogênea é
y_h(x) = C_1\,\frac1{x} + C_2\,e^x.

Passo 5

Para encontrar y_p usamos variação de parâmetros na forma padrão
y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x),\quad g(x)=x+1.
Temos as soluções fundamentais y_1=1/x, y_2=e^x e o Wronskiano
W = \begin{vmatrix} y_1 & y_2\\[6pt] y_1'& y_2' \end{vmatrix} = \frac{1}{x}\,e^x - \Bigl(-\frac1{x^2}\Bigr)e^x = e^x\,\frac{x+1}{x^2}.
As fórmulas são
u_1' = -\frac{y_2\,g}{W},\quad u_2' = \frac{y_1\,g}{W}.
Logo
u_1' = -\frac{e^x\,(x+1)}{e^x\,(x+1)/x^2} = -x^2, \quad u_2' = \frac{(1/x)\,(x+1)}{e^x\,(x+1)/x^2} = x e^{-x}.
Integrando, podemos tomar (desprezando constantes pois entram em C_1,C_2)
u_1 = -\int x^2\,dx = -\frac{x^3}{3}, \quad u_2 = \int x e^{-x}\,dx = -\!(x+1)e^{-x}.
Portanto
y_p = u_1\,y_1 + u_2\,y_2 = -\frac{x^3}{3}\cdot\frac1{x} \;+\; \bigl[-(x+1)e^{-x}\bigr]e^x = -\frac{x^2}{3} - (x+1).]

Resposta

A solução geral da equação dada é
\boxed{y(x) = C_1\,\frac1{x} + C_2\,e^x - \frac{x^2}{3} - x - 1.}

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