Determine a solução geral das seguintes equações:
Passo 1
Resumindo, temos a equação diferencial não homogênea de segunda ordem
que, ao dividir por
, fica em forma padrão
onde
O plano é primeiro achar a solução geral
da equação homogênea e depois uma solução particular
.
Passo 2
Procuramos uma solução simples da homogênea
Testando
, temos
Substituindo na equação original (sem o termo
), verifica-se que o lado esquerdo zera, logo
é uma solução da homogênea.
Passo 3
Para achar a segunda solução
usamos redução de ordem. Na forma padrão
a fórmula dá
Calculamos primeiro
portanto
Como
, temos
, então
Integrando
obtém-se
Passo 4
A solução geral da homogênea é
Passo 5
Para encontrar
usamos variação de parâmetros na forma padrão
Temos as soluções fundamentais
,
e o Wronskiano
As fórmulas são
Logo
Integrando, podemos tomar (desprezando constantes pois entram em
)
Portanto
Resposta
A solução geral da equação dada é