Determine a solução geral das seguintes equações:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de coeficientes constantes
O método envolve duas partes: primeiro resolvemos a equação homogênea associada e depois encontramos uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Resolvemos a equação homogênea
propondo
. Isso leva à equação característica
As raízes são as três raízes cúbicas de 1:
Passo 3
A solução geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Para encontrar uma solução particular
de
tente um polinômio de grau 3:
Então
Passo 5
Substituindo em
:
Isso deve ser igual a
. Igualando coeficientes:
Para :
dá
.
Para :
dá
.
Para :
dá
.
Para o termo constante: dá
e, portanto,
.
Assim,
Para
Para
Para
Para o termo constante:
Assim,
Passo 6
A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular: