Determine a solução geral das seguintes equações:
y^{\prime \prime \prime}-y=x^{3}-1

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de coeficientes constantes
y''' - y = x^3 - 1.
O método envolve duas partes: primeiro resolvemos a equação homogênea associada e depois encontramos uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Resolvemos a equação homogênea
y''' - y = 0
propondo y=e^{rx}. Isso leva à equação característica
r^3 - 1 = 0.
As raízes são as três raízes cúbicas de 1:
r_1 = 1, \quad r_2 = -\tfrac12 + i\,\tfrac{\sqrt3}{2}, \quad r_3 = -\tfrac12 - i\,\tfrac{\sqrt3}{2}.

Passo 3

A solução geral da homogênea é
y_h = C_1 e^{x} + e^{-\tfrac{x}{2}}\Bigl(C_2\cos\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}x\bigr) + C_3\sin\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}x\bigr)\Bigr),
onde C_1,C_2,C_3 são constantes arbitrárias.

Passo 4

Para encontrar uma solução particular y_p de
y''' - y = x^3 - 1
tente um polinômio de grau 3:
y_p = ax^3 + bx^2 + cx + d.
Então
y_p' = 3ax^2 + 2bx + c,\quad y_p'' = 6ax + 2b,\quad y_p''' = 6a.

Passo 5

Substituindo em y''' - y:
y_p''' - y_p = 6a - (ax^3 + bx^2 + cx + d) = -a\,x^3 - b\,x^2 - c\,x + (6a - d).
Isso deve ser igual a x^3 - 1. Igualando coeficientes:
Para x^3: -a = 1 a=-1.
Para x^2: -b = 0 b=0.
Para x: -c = 0 c=0.
Para o termo constante: 6a - d = -1 6(-1) - d = -1 e, portanto, d = -5.
Assim,
y_p = -x^3 - 5.

Passo 6

A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y = y_h + y_p = C_1 e^{x} + e^{-\tfrac{x}{2}}\Bigl(C_2\cos\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}x\bigr) + C_3\sin\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}x\bigr)\Bigr) - x^3 - 5.

Resposta

\boxed{y(x) = C_1 e^{x} + e^{-\tfrac{x}{2}}\Bigl(C_2\cos\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}x\bigr) + C_3\sin\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}x\bigr)\Bigr) - x^3 - 5.}

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