Determine a solução geral das siguentes edo’s lineares:
x y^{\prime}+y=(1+x) e^{x}, x>0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação linear de primeira ordem
x\,y' + y = (1+x)e^x,\quad x>0.
Vamos usar o método do fator integrante, que exige pôr a EDO na forma
y' + P(x)\,y = Q(x).

Passo 2

Dividindo a equação original por x (válido porque x>0) obtemos
y' + \frac{1}{x}\,y = \frac{(1+x)e^x}{x} =\;e^x + \frac{e^x}{x}.
Aqui P(x)=1/x e Q(x)=e^x+e^x/x.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\Bigl(\int \frac{1}{x}\,dx\Bigr) = e^{\ln x} = x.

Passo 4

Multiplicando a equação em forma padrão por \mu(x)=x volta-se à forma original
x\,y' + y = (1+x)e^x,
cuja parte esquerda é exatamente a derivada de x\,y. Logo
\frac{d}{dx}\bigl(x\,y\bigr) = (1+x)e^x.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
x\,y = \int (1+x)e^x\,dx + C.
Para calcular a integral, note que
\int (1+x)e^x\,dx = \int e^x\,dx + \int x e^x\,dx = e^x + \bigl(xe^x - e^x\bigr) = x\,e^x.
Assim
x\,y = x\,e^x + C.

Passo 6

Isolando y, obtemos a solução geral
y = e^x + \frac{C}{x},
com C constante arbitrária.

Resposta

y = e^x + \frac{C}{x}.

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