Determine a solução geral das siguentes edo’s lineares:
y^{\prime}+2 x y=2 x e^{-x^{2}}\

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO linear de primeira ordem
y' + 2x\,y = 2x\,e^{-x^2}
e pede a solução geral. O conteúdo é equações diferenciais lineares de 1ª ordem e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Identificamos
P(x) = 2x \quad\text{e}\quad Q(x) = 2x\,e^{-x^2}.
O fator integrante é
\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx} = e^{\int 2x\,dx} = e^{x^2}.

Passo 3

Multiplicando a EDO por \mu(x) obtemos
e^{x^2}y' + 2x\,e^{x^2}y = e^{x^2}\cdot 2x\,e^{-x^2} = 2x,
e reconhecemos o lado esquerdo como
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x^2}y\bigr) = 2x.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\bigl(e^{x^2}y\bigr)\,dx = \int 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad e^{x^2}y = x^2 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolando y, temos
y = e^{-x^2}\,(x^2 + C).

Resposta

y = e^{-x^2}\,(x^2 + C)

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