Determine a solução geral das siguentes edo’s não homogêneas, utilizando o método de coeficientes por determinar:
y^{\prime \prime}-y=x^{2} e^{x}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não homogênea
y'' - y = x^2 e^x
O conteúdo aqui é equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo do tipo polinômio vezes exponencial. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que consiste em achar primeiro a solução geral da homogênea e depois uma solução particular usando um palpite adequado.

Passo 2

Encontramos a solução da equação homogênea associada
y'' - y = 0.
A equação característica é
r^2 - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r = \pm 1.
Portanto
y_h = C_1 e^x + C_2 e^{-x}.

Passo 3

Para a solução particular y_p, como o termo não homogêneo é x^2 e^x e e^x corresponde à raiz r=1 da homogênea (multiplicidade 1), multiplicamos o palpite usual por x. Assim fazemos o palpite
y_p = e^x\,p(x),
onde escolhemos
p(x) = A x^3 + B x^2 + C x.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_p. Como y_p = e^x p(x), vale
y_p' = e^x\bigl(p + p'\bigr), \quad y_p'' = e^x\bigl(p + 2p' + p''\bigr).
Substituindo em y'' - y surge
y_p'' - y_p = e^x\bigl(p + 2p' + p'' - p\bigr) = e^x\bigl(2p' + p''\bigr).
Agora p'(x)=3Ax^2+2Bx+C e p''(x)=6Ax+2B, logo
2p' + p'' = 6A x^2 + (4B+6A)x + (2C+2B).

Passo 5

Exigimos
y_p'' - y_p = x^2 e^x,
ou seja
6A x^2 + (4B+6A)x + (2C+2B) \equiv x^2.
Comparando coeficientes:
6A = 1,\quad 4B + 6A = 0,\quad 2C + 2B = 0.
Daí
A = \tfrac16,\quad 4B + 6\bigl(\tfrac16\bigr)=0\\ \Rightarrow\\ B=-\tfrac14, \quad 2C + 2\bigl(-\tfrac14\bigr)=0\\ \Rightarrow\\ C=\tfrac14.

Passo 6

Com esses valores,
p(x) = \tfrac16x^3 - \tfrac14x^2 + \tfrac14x,
então
y_p = e^x\Bigl(\tfrac16x^3 - \tfrac14x^2 + \tfrac14x\Bigr).
A solução geral é a soma da homogênea com a particular:

Resposta

y(x) = C_1 e^x + C_2 e^{-x} + e^x\Bigl(\tfrac16x^3 - \tfrac14x^2 + \tfrac14x\Bigr).

Exercícios relacionados