Determine a solução geral das siguentes edo’s não homogêneas, utilizando o método de coeficientes por determinar:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO
usando o método dos coeficientes a determinar.
Conteúdo: EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
Estratégia: (1) achar a solução complementar resolvendo a equação homogênea associada, (2) propor um palpite para a solução particular conforme o termo não homogêneo e (3) determinar os coeficientes.
Conteúdo: EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
Estratégia: (1) achar a solução complementar resolvendo a equação homogênea associada, (2) propor um palpite para a solução particular conforme o termo não homogêneo e (3) determinar os coeficientes.
Passo 2
A equação homogênea associada é
Assumimos
e obtemos a equação característica
Resolvendo, vem
Logo, a solução complementar é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Escrevemos o termo não homogêneo em forma exponencial:
Como
não é solução da homogênea, propomos para essa parte
Como
já aparece em
(raiz simples
), multiplicamos por
e propomos
Assim, a solução particular total é
Passo 4
Calculamos os derivados de
:
Substituindo em
para igualar a
:
Passo 5
Agora
. Seus derivados são
Substituindo em
e igualando ao coeficiente de
:
Passo 6
Juntando tudo, a solução particular é
e a solução geral da EDO é