Determine a solução geral das siguentes edo’s não homogêneas, utilizando o método de coeficientes por determinar:
y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=2 \operatorname{cosh} (x)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
y'' - y' - 2y = 2\operatorname{cosh}(x)
usando o método dos coeficientes a determinar.
Conteúdo: EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
Estratégia: (1) achar a solução complementar resolvendo a equação homogênea associada, (2) propor um palpite para a solução particular conforme o termo não homogêneo e (3) determinar os coeficientes.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' - y' - 2y = 0.
Assumimos y=e^{rx} e obtemos a equação característica
r^2 - r - 2 = 0.
Resolvendo, vem
r = 2 \quad\text{ou}\quad r = -1.
Logo, a solução complementar é
y_c = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Escrevemos o termo não homogêneo em forma exponencial:
2\operatorname{cosh}(x) = 2\cdot\frac{e^x + e^{-x}}{2} = e^x + e^{-x}.
Como e^x não é solução da homogênea, propomos para essa parte
y_{p1} = A\,e^x.
Como e^{-x} já aparece em y_c (raiz simples r=-1), multiplicamos por x e propomos
y_{p2} = B\,x\,e^{-x}.
Assim, a solução particular total é
y_p = A\,e^x + B\,x\,e^{-x}.

Passo 4

Calculamos os derivados de y_{p1}=A e^x:
y'_{p1} = A e^x, \quad y''_{p1} = A e^x.
Substituindo em y''-y'-2y para igualar a e^x:
A e^x - A e^x - 2A e^x = -2A e^x \overset{!}{=} 1\cdot e^x \;\Longrightarrow\; -2A = 1 \;\Longrightarrow\; A = -\tfrac12.

Passo 5

Agora y_{p2}=B x e^{-x}. Seus derivados são
y'_{p2} = B\bigl(e^{-x} - x e^{-x}\bigr), \quad y''_{p2} = B\bigl(-2e^{-x} + x e^{-x}\bigr).
Substituindo em y''-y'-2y e igualando ao coeficiente de e^{-x}:
\bigl[-2 + x\bigr]B e^{-x} - \bigl[1 - x\bigr]B e^{-x} -2\bigl[x\bigr]B e^{-x} = -3B e^{-x} \overset{!}{=} 1\cdot e^{-x} \;\Longrightarrow\; -3B = 1 \;\Longrightarrow\; B = -\tfrac13.

Passo 6

Juntando tudo, a solução particular é
y_p = -\tfrac12\,e^x \;-\;\tfrac13\,x\,e^{-x},
e a solução geral da EDO é
y(x) = y_c + y_p = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x} - \tfrac12\,e^x - \tfrac13\,x\,e^{-x}.

Resposta

y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x} - \tfrac12\,e^x \;-\;\tfrac13\,x\,e^{-x}.

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