Determine a solução geral das siguentes edo’s não homogêneas, utilizando o método de coeficientes por determinar:
y^{\prime \prime}-y^{\prime}=2 e^{-x}-7

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear não homogênea
y'' - y' = 2e^{-x} - 7
usando o método dos coeficientes a determinar. É uma EDO de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro achamos a solução geral da homogênea associada
y'' - y' = 0.
A equação característica é
r^2 - r = 0\quad\Longrightarrow\quad r(r-1)=0
com raízes r=0 e r=1. Logo
y_h = C_1e^{0\cdot x} + C_2e^{1\cdot x} = C_1 + C_2e^x.

Passo 3

Agora propomos um particular y_p para o termo não homogêneo 2e^{-x}-7. Como e^{-x} não pertence ao espaço de soluções homogêneas, tomamos um termo A e^{-x}. Para o termo constante -7, a tentativa usual seria B, mas como constante gera ressonância (já está em y_h), multiplicamos por x e propomos
y_p = A e^{-x} + Bx.

Passo 4

Calculamos derivadas de y_p:
y_p' = -A e^{-x} + B, \qquad y_p'' = A e^{-x}.
Substituindo em y''-y':
y_p'' - y_p' = \bigl(A e^{-x}\bigr) - \bigl(-A e^{-x} + B\bigr) = 2A e^{-x} - B.
Isso deve ser igual a 2e^{-x}-7. Igualando termos semelhantes:
2A = 2 \quad\Longrightarrow\quad A = 1, \qquad -\,B = -7 \quad\Longrightarrow\quad B = 7.

Passo 5

Temos assim
y_p = e^{-x} + 7x,
e a solução geral da EDO é
y(x) = y_h + y_p = C_1 + C_2e^x + e^{-x} + 7x.

Resposta

A solução geral é
y(x) = C_1 + C_2e^x + e^{-x} + 7x,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados