Determine a solução geral das siguentes edo’s não homogêneas, utilizando o método de coeficientes por determinar:
y^{\prime \prime}-y=-6 e^{-x}+8 x^{2}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO não homogênea
y'' - y = -6e^{-x} + 8x^2.
O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que consiste em:
  1. Resolver a equação homogênea associada.
  2. Propor uma solução particular para cada termo do segundo membro.
  3. Somar as duas partes para obter a solução geral.

Passo 2

Resolva a homogênea associada
y'' - y = 0.
A equação característica é
r^2 - 1 = 0\quad\Longrightarrow\quad r = \pm 1.
Logo a solução geral da homogênea é
y_h(x) = C_1 e^x + C_2 e^{-x}.

Passo 3

Encontre y_{p1} para o termo -6e^{-x}.
Como e^{-x} já é solução da homogênea, multiplicamos por x. Proponha
y_{p1}(x) = A\,x e^{-x}.
Calcule as derivadas:
y_{p1}' = A\bigl(e^{-x} - x e^{-x}\bigr), \quad y_{p1}'' = A\bigl(-e^{-x} + x e^{-x} - e^{-x}\bigr) = A\,e^{-x}(x - 2).
Substituindo em y'' - y:
y_{p1}'' - y_{p1} = A\,e^{-x}(x-2) - A\,x e^{-x} = -2A\,e^{-x}.
Queremos que isso seja -6e^{-x}, então
-2A = -6 \quad\Longrightarrow\quad A = 3.
Assim
y_{p1}(x) = 3x e^{-x}.

Passo 4

Encontre y_{p2} para o termo 8x^2.
Como é polinomial de grau 2, proponha
y_{p2}(x) = Ax^2 + Bx + C.
Então
y_{p2}'' = 2A,
y_{p2}'' - y_{p2} = 2A - (Ax^2 + Bx + C) = -A x^2 - Bx + (2A - C).
Igualando a 8x^2 dá o sistema
-A = 8,\quad -B = 0,\quad 2A - C = 0.
Logo
A = -8,\quad B = 0,\quad C = 2A = -16.
Portanto
y_{p2}(x) = -8x^2 - 16.

Passo 5

A solução geral da EDO não homogênea é
y(x) = y_h(x) + y_{p1}(x) + y_{p2}(x) = C_1 e^x + C_2 e^{-x} + 3x e^{-x} - 8x^2 - 16.

Resposta

y(x) = C_1 e^x + C_2 e^{-x} + 3x e^{-x} - 8x^2 - 16.

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