Determine a solução geral das siguentes edo’s não homogêneas, utilizando o método de coeficientes por determinar:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO não homogênea
O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que consiste em:
- Resolver a equação homogênea associada.
- Propor uma solução particular para cada termo do segundo membro.
- Somar as duas partes para obter a solução geral.
Passo 2
Resolva a homogênea associada
A equação característica é
Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Encontre
para o termo
.
Como já é solução da homogênea, multiplicamos por
. Proponha
Como
Calcule as derivadas:
Substituindo em
:
Queremos que isso seja
, então
Assim
Passo 4
Encontre
para o termo
.
Como é polinomial de grau 2, proponha
Como é polinomial de grau 2, proponha
Então
Igualando a
dá o sistema
Logo
Portanto
Passo 5
A solução geral da EDO não homogênea é