Determine a solução geral das siguentes edo’s não homogêneas, utilizando o método de coeficientes por determinar:
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+5 y=7 \cos (2 x)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
y'' + 3y' + 5y = 7\cos(2x),
que é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo. Vamos usar o método de coeficientes indeterminados: primeiro encontramos a solução da equação homogênea e depois uma solução particular desse forçamento 7\cos(2x).

Passo 2

Resolvendo a parte homogênea
y'' + 3y' + 5y = 0
montamos a equação característica
r^2 + 3r + 5 = 0.
As raízes são
r = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 20}}{2} = \frac{-3 \pm i\sqrt{11}}{2}.
Logo a solução homogênea é
y_h(x) = e^{-\tfrac{3}{2}x}\Big(C_1\cos\bigl(\tfrac{\sqrt{11}}{2}x\bigr)+C_2\sin\bigl(\tfrac{\sqrt{11}}{2}x\bigr)\Big).

Passo 3

Para a solução particular, como o termo forçante é 7\cos(2x), tentamos
y_p(x) = A\cos(2x) + B\sin(2x),
com A e B constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas:
y_p' = -2A\sin(2x) + 2B\cos(2x), \quad y_p'' = -4A\cos(2x) -4B\sin(2x).
Substituindo em y''+3y'+5y obtemos
y_p'' + 3y_p' + 5y_p = (-4A\cos2x -4B\sin2x) +3(-2A\sin2x +2B\cos2x) +5(A\cos2x + B\sin2x).
Agrupando os coeficientes de \cos(2x) e \sin(2x):
\bigl(-4A + 6B +5A\bigr)\cos2x + \bigl(-4B -6A +5B\bigr)\sin2x = (A +6B)\cos2x + (B -6A)\sin2x.

Passo 5

Esse resultado deve ser igual a 7\cos(2x)\), isto é, \[(A + 6B)\cos2x + (B - 6A)\sin2x = 7\cos2x + 0\sin2x.
Daí vem o sistema
\begin{cases} A + 6B = 7,\\\ B - 6A = 0. \end{cases}
Da segunda equação (B = 6A]. Substituindo na primeira:
A + 6(6A) = 7 \;\implies\; 37A = 7 \;\implies\; A = \frac{7}{37}, \quad B = \frac{42}{37}.

Passo 6

A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = e^{-\tfrac{3}{2}x}\Bigl(C_1\cos\bigl(\tfrac{\sqrt{11}}{2}x\bigr)+C_2\sin\bigl(\tfrac{\sqrt{11}}{2}x\bigr)\Bigr) + \frac{7}{37}\cos(2x) + \frac{42}{37}\sin(2x).

Resposta

y(x) = e^{-\tfrac{3}{2}x}\Bigl(C_1\cos\bigl(\tfrac{\sqrt{11}}{2}x\bigr)+C_2\sin\bigl(\tfrac{\sqrt{11}}{2}x\bigr)\Bigr) + \frac{7}{37}\cos(2x) + \frac{42}{37}\sin(2x).

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