Determine a solução geral das siguentes edo’s não homogêneas, utilizando o método de coeficientes por determinar:
x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 y=4 x^{2}, x>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Cauchy–Euler não homogênea
x^{2}y'' - 2x\,y' + 2y = 4x^{2},\quad x>0,
usando o método de coeficientes a determinar. Vamos primeiro achar a solução geral da parte homogênea e depois um particular para o termo não homogêneo.

Passo 2

Para a equação homogênea
x^{2}y'' - 2x\,y' + 2y = 0
supomos uma solução do tipo y=x^{m}. Substituindo,
x^{2}(m(m-1)x^{m-2}) - 2x(m x^{m-1}) + 2x^{m} = 0 \;\Longrightarrow\; m(m-1) - 2m + 2 = 0.
Isso leva à equação característica
m^{2} -3m + 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad m=1\;\text{ou}\;m=2.
Logo a solução homogênea é
y_{h}(x) = C_{1}\,x + C_{2}\,x^{2}.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_{p} tal que
x^{2}y''_{p} - 2x\,y'_{p} + 2y_{p} = 4x^{2}.
Como o termo não homogêneo é 4x^{2} e x^{2} já aparece em y_{h}, usamos o ansatz
y_{p}(x)=A\,x^{2}\ln(x),
multiplicando por \ln x para garantir independência linear da solução homogênea.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_{p}:
y_{p} = A\,x^{2}\ln(x), \quad y'_{p} = A\bigl(2x\ln(x) + x\bigr) = A\,x\bigl(2\ln(x)+1\bigr), \quad y''_{p} = A\bigl(2\ln(x)+3\bigr).
Substituindo na equação,
x^{2}y''_{p} - 2x\,y'_{p} + 2y_{p} = x^{2}\bigl[A(2\ln x+3)\bigr] -2x\bigl[A\,x(2\ln x+1)\bigr] +2\bigl[A\,x^{2}\ln x\bigr].
Agrupando termos em x^{2} e em \ln x nota-se que os coeficientes de \ln x se cancelam, sobrando
A\,x^{2}\bigl[(2\ln x+3) -2(2\ln x+1)+2\ln x\bigr] = A\,x^{2}\,(3-2) = A\,x^{2}.
Para igualar a 4x^{2} temos A\,x^{2}=4x^{2}, logo A=4.

Passo 5

Concluímos que
y_{p}(x)=4\,x^{2}\ln(x).
Assim a solução geral da EDO é
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x) =C_{1}\,x + C_{2}\,x^{2} + 4\,x^{2}\ln(x).

Resposta

\boxed{y(x)=C_{1}\,x + C_{2}\,x^{2} + 4\,x^{2}\ln(x),\quad C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.}

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