Determine a solução geral das siguentes edo’s não homogêneas, utilizando o método de coeficientes por determinar:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de Cauchy–Euler não homogênea
usando o método de coeficientes a determinar. Vamos primeiro achar a solução geral da parte homogênea e depois um particular para o termo não homogêneo.
Passo 2
Para a equação homogênea
supomos uma solução do tipo
. Substituindo,
Isso leva à equação característica
Logo a solução homogênea é
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
tal que
Como o termo não homogêneo é
e
já aparece em
, usamos o ansatz
multiplicando por
para garantir independência linear da solução homogênea.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo na equação,
Agrupando termos em
e em
nota-se que os coeficientes de
se cancelam, sobrando
Para igualar a
temos
, logo
.
Passo 5
Concluímos que
Assim a solução geral da EDO é