Determine a solução geral das siguentes edo’s (x>0) :
y^{\prime \prime}-y=2 y^{\prime}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - y = 2y'
para x>0. O conteúdo é EDO linear homogênea; vamos reescrever na forma padrão e usar o polinômio característico.

Passo 2

Reescrevendo em forma padrão, trazemos todos os termos para o lado esquerdo:
y'' - 2y' - y = 0.

Passo 3

Assumimos y=e^{rx} e montamos o polinômio característico:
r^2 - 2r - 1 = 0.
Resolvendo pela fórmula de Bhaskara:
r = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4\cdot1\cdot(-1)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}.

Passo 4

Como as raízes r_1=1+\sqrt{2} e r_2=1-\sqrt{2} são reais e distintas, a solução geral é
y(x) = C_1 e^{(1+\sqrt{2})x} + C_2 e^{(1-\sqrt{2})x},
com C_1,C_2 constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C_1 e^{(1+\sqrt{2})x} + C_2 e^{(1-\sqrt{2})x}.

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