Determine a solução geral das siguentes edo’s (x>0) :
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}=y

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' = y,
para x>0. O método envolve assumir uma solução do tipo y=e^{rx} e obter a equação característica.

Passo 2

Supondo y=e^{rx}, temos y'=r e^{rx} e y''=r^2 e^{rx}. Substituindo na equação diferencial, vem
r^2 e^{rx} - 2\,r e^{rx} = e^{rx}.
Como e^{rx}\neq0, simplificamos para a equação característica.

Passo 3

A equação característica é
r^2 - 2r - 1 = 0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara,
r = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4\cdot1\cdot(-1)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}.

Passo 4

Como as raízes r_1 = 1 + \sqrt{2} e r_2 = 1 - \sqrt{2} são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é
y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C_1 e^{(1+\sqrt{2})x} + C_2 e^{(1-\sqrt{2})x}.

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