Determine a solução geral das siguentes edo’s:
y^{\prime}=\sqrt{x+y}

Passo 1

O enunciado pede para achar a solução geral da equação diferencial
y' = \sqrt{x + y}
que é uma EDO de primeira ordem. Vamos usar a técnica de substituição para transformar em uma equação separável.

Passo 2

Definimos
u = x + y.
Como u depende de x, temos
\frac{du}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx} = 1 + y'.
Mas da EDO orig inal y' = \sqrt{x+y} = \sqrt{u}. Logo
\frac{du}{dx} = 1 + \sqrt{u}.

Passo 3

Agora escrevemos a equação em forma separável:
\frac{du}{1 + \sqrt{u}} = dx.

Passo 4

Para integrar o lado esquerdo, fazemos a substituição auxiliar
t = \sqrt{u} \quad\Longrightarrow\quad u = t^2, \quad du = 2t\,dt.
Então
\int \frac{du}{1 + \sqrt{u}} = \int \frac{2t\,dt}{1 + t} = \int \bigl(2 - \tfrac{2}{1+t}\bigr)\,dt = 2t - 2\ln\bigl(1+t\bigr) + C_1.
Voltando a u, isso dá
2\sqrt{u} - 2\ln\!\bigl(1+\sqrt{u}\bigr) = x + C,
onde C é constante geral.

Passo 5

Substituímos u = x + y na expressão acima e obtemos a solução geral implícita:
2\sqrt{x+y} -2\ln\!\bigl(1+\sqrt{x+y}\bigr) = x + C.

Resposta

A solução geral da EDO é dada implicitamente por
2\sqrt{x+y} -2\ln\!\bigl(1+\sqrt{x+y}\bigr) = x + C,
onde C é constante arbitrária.

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