Determine a solução geral das siguentes edo’s:
y^{\prime}-e^{x+y}=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem não linear
y' - e^{x+y} = -1.
O conteúdo principal é reconhecer que podemos fazer a substituição u = e^{-y} para transformar a EDO em uma equação linear em u.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a EDO em forma explícita para y':
y' = e^{x+y} - 1 = e^x\,e^y - 1.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = e^{-y}.
Então
\frac{du}{dx} = -y'\,e^{-y} = -\bigl(e^x e^y - 1\bigr)e^{-y} = -e^x + e^{-y} = -e^x + u.
Isto nos dá a equação linear
\frac{du}{dx} - u = -e^x.

Passo 4

Para resolver
\frac{du}{dx} - u = -e^x
calculamos o fator integrante \mu(x)=e^{-\!x}. Multiplicando ambos os lados:
e^{-x}\frac{du}{dx} - e^{-x}u = -1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}u\bigr) = -1.
Integrando em x,
e^{-x}u = -x + C,
onde C é constante de integração. Portanto
u = e^x\bigl(C - x\bigr).

Passo 5

Voltando à variável y, temos e^{-y}=u=e^x(C-x), logo
e^y = \frac{1}{e^x(C-x)} = \frac{e^{-x}}{C - x}.
Tomando logaritmo natural,
y = -x - \ln\bigl(C - x\bigr).

Resposta

A solução geral da EDO é
\boxed{y(x) = -x - \ln\bigl(C - x\bigr),}
onde C é constante arbitrária.

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