Determine a solução geral das siguentes edo’s:
y^{\prime}=(x+y+3)^{2}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
y' = (x + y + 3)^{2}.
O assunto aqui é equações de primeira ordem e vamos usar uma substituição que torne a equação separável.

Passo 2

Definimos a nova variável
u = x + y + 3.
Então
\frac{du}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx} = 1 + (x + y + 3)^{2} = 1 + u^{2}.
Assim a equação original se transforma em
\frac{du}{dx} = 1 + u^{2}.

Passo 3

Agora a equação é separável. Separamos e integramos:
\int \frac{du}{1 + u^{2}} = \int dx.
Daí obtemos
\arctan(u) = x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Isolando u vem
u = \tan\bigl(x + C\bigr).
Voltando à variável y, temos
x + y + 3 = \tan\bigl(x + C\bigr) \quad\Longrightarrow\quad y = \tan\bigl(x + C\bigr) - x - 3.

Resposta

A solução geral é
y(x) = \tan\bigl(x + C\bigr) \;-\; x \;-\; 3,
com C\in\mathbb{R}.

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