Determine a solução geral das siguentes edo’s:
y^{\prime}=\operatorname{sen}(x+y)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
y' = \sin(x + y).
Este é um caso em que a variável aparece combinada em x+y, então vamos usar a substituição u = x + y. Assim precisaremos transformar a EDO em uma em que possamos separar u e x.

Passo 2

Defina
u = x + y \quad\Longrightarrow\quad \frac{du}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}.
Como \frac{dy}{dx} = \sin(u), segue
\frac{du}{dx} = 1 + \sin(u).

Passo 3

Separe variáveis para integrar:
\frac{du}{1 + \sin(u)} = dx.

Passo 4

Calcule a integral
\int \frac{du}{1 + \sin(u)} = \int \frac{1 - \sin(u)}{(1+\sin(u))(1-\sin(u))}\,du = \int \frac{1 - \sin(u)}{\cos^2(u)}\,du = \int \operatorname{sec}^2(u)\,du \;-\;\int \operatorname{sec}(u)\tan(u)\,du = \tan(u) - \operatorname{sec}(u) + C.
Portanto obtemos
\tan(u) - \operatorname{sec}(u) = x + C.

Passo 5

Retornando a y pela substituição u = x + y, a solução geral implícita é
\tan\bigl(x+y\bigr) \;-\;\operatorname{sec}\bigl(x+y\bigr) = x + C.

Resposta

\tan(x+y) - \operatorname{sec}(x+y) = x + C.

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