Determine a solução geral do sistema dado. (autovalores reais diferentes)
& d xd t=x+y-z & d yd t=2 y & d zd t= y-z

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear de três equações diferenciais acopladas
dxdt=x+y-z, dydt=2y, dzdt=y-z
e pede a solução geral assumindo autovalores reais e distintos. O conteúdo que vamos usar é diagonalização da matriz de coeficientes via cálculo do polinômio característico, autovalores e autovetores.

Passo 2

Escrevemos a matriz do sistema como
A = 1 & 1 & -1 0 & 2 & 0 0 & 1 & -1
e formamos o polinômio característico det(A-lambda I)=0. Calculando
detl(A-lambda Ir) =(1-lambda)l((2-lambda)(-1-lambda)r) =(1-lambda)(lambda^2-lambda-2) =(1-lambda)(lambda-2)(lambda+1)
Logo, os autovalores são lambda1=1, lambda2=2 e lambda3=-1.

Passo 3

Para cada autovalor lambda resolvemos (A-lambda I)v=0 para achar um autovetor v.
Para lambda1=1,
(A-I)=0&1&-10&1&00&1&-2,
y=z e y=0, logo y=z=0 e x livre. Escolhemos
v1 = 100
Para lambda2=2,
(A-2I)=-1&1&-10&0&00&1&-3,
y=3z e x=y-z=2z. Tomando z=1, obtemos
v2 = 231
Para lambda3=-1,
(A+I)=2&1&-10&3&00&1&0,
y=0 e z=2x. Tomando x=1, obtemos
v3 = 102

Passo 4

Como os autovalores são distintos, a solução geral é combinação linear das soluções fundamentais
Xj(t)=e^lambdaj t,vj
Assim,
X(t)=C1,e^1cdot t100 + C2,e^2cdot t231 + C3,e^-1cdot t102

Resposta

Em coordenadas (x,y,z), a solução geral fica
x(t)=C1e^t+2C2e^2t+C3e^-t, y(t)=3C2e^2t, z(t)=C2e^2t+2C3e^-t,
onde C1,C2,C3 são constantes arbitrárias.

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