Determine a solução geral do sistema dado. (autovalores repetidos)
X^prime=(ccc1 & 0 & 0 0 & 3 & 1 0 & -1 & 1) X

Passo 1

O sistema é
X' = A, X, A = 1&0&00&3&10&-1&1
É um sistema linear com coeficientes constantes; para resolver vamos calcular os autovalores de A, encontrar autovetores e, no caso de autovalor repetido sem base completa, vetores generalizados para formar a solução geral.

Passo 2

Calculemos o polinômio característico de A.
det(A-lambda I) = (1-lambda),det3-lambda&1-1&1-lambda = (1-lambda)l((3-lambda)(1-lambda)+1r)
Expandindo,
(3-lambda)(1-lambda)+1 = 3 -4lambda +lambda^2 +1 = lambda^2 -4lambda +4 = (lambda-2)^2
Logo os autovalores são
lambda1 = 1(simp<=s), lambda2 = lambda3 = 2(duplo)

Passo 3

Autovetor para . Solvemos , i.e.
Das duas últimas linhas vem e , logo e livre. Tomamos

Passo 4

Autovetor para . Solvemos , i.e.
Da primeira linha . Das outras duas vem . Tomamos

Passo 5

Como lambda=2 é duplo mas a multiplicidade geométrica é 1, precisamos de um vetor generalizado w tal que (A-2I)w = v^(2). Escrevendo w=(x,y,z)^T, as equações são
-,x = 0, y+z=1, -y - z = -1,
que reduzem a x=0 e y+z=1. Por simplicidade escolhemos y=1, z=0, logo
w = 010

Passo 6

As soluções fundamentais são:
. Para :
. Para o bloco de Jordan em :
)

Passo 7

A solução geral do sistema é combinação linear das três soluções fundamentais:
X(t) = C1 X1(t) + C2 X2(t) + C3 X3(t)

Resposta

onde são constantes arbitrárias.)

Exercícios relacionados