Determine a solução geral do sistema dado. (autovalores repetidos)
Passo 1
O sistema é
X' = A, X, A = 1&0&00&3&10&-1&1
É um sistema linear com coeficientes constantes; para resolver vamos calcular os autovalores de A, encontrar autovetores e, no caso de autovalor repetido sem base completa, vetores generalizados para formar a solução geral.
Das duas últimas linhas vem e , logo e livre. Tomamos
Passo 4
Autovetor para . Solvemos , i.e.
Da primeira linha . Das outras duas vem . Tomamos
Passo 5
Como lambda=2 é duplo mas a multiplicidade geométrica é 1, precisamos de um vetor generalizado w tal que (A-2I)w = v^(2). Escrevendo w=(x,y,z)^T, as equações são
-,x = 0, y+z=1, -y - z = -1,
que reduzem a x=0 e y+z=1. Por simplicidade escolhemos y=1, z=0, logo
w = 010
Passo 6
As soluções fundamentais são: . Para :
. Para o bloco de Jordan em :
)
Passo 7
A solução geral do sistema é combinação linear das três soluções fundamentais: