Determine a solução geral de y^{\prime \prime}+4 y=\operatorname{sen} x \operatorname{sen} 3 x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y''+4y=\sin x\sin 3x.
Informações relevantes:
  • É uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O membro direito é o produto de senos \sin x e \sin 3x.
  • Queremos encontrar a solução geral y(x), isto é, a soma da solução homogênea e de uma particular.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar o membro direito usando a identidade produto-para-soma. A identidade trigonométrica é
\sin A\sin B=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(A-B)-\cos(A+B)\bigr).
Aplicando com A=x e B=3x obtemos
\sin x\sin 3x=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos( x-3x)-\cos(x+3x)\bigr) =\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(-2x)-\cos 4x\bigr).
Como \cos(-2x)=\cos 2x, temos
\sin x\sin 3x=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos 2x-\cos 4x\bigr).
Portanto a EDO fica
y''+4y=\tfrac{1}{2}\cos 2x-\tfrac{1}{2}\cos 4x.

Passo 3

Resolvemos a equação homogênea associada
y''+4y=0.
A equação característica é r^2+4=0, com raízes r=\pm 2\mathrm{i}. Logo a solução homogênea é
y_h=C_1\cos 2x + C_2\sin 2x,
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 4

Para a solução particular usamos o método dos coeficientes indeterminados. Observação importante (ressonância): o termo \cos 2x aparece na solução homogênea (mesma frequência), logo ao tentar um “ansatz” para essa parte devemos multiplicar por x. O termo \cos 4x não causa ressonância, então para ele usamos o ansatz habitual de combinação de cosseno e seno.
Vamos construir a solução particular como soma de duas partes, uma para \tfrac{1}{2}\cos 2x e outra para -\tfrac{1}{2}\cos 4x:
y_p=y_{p1}+y_{p2}.

Passo 5

Parte relativa a -\tfrac{1}{2}\cos 4x. Tentamos
y_{p2}=C\cos 4x + D\sin 4x.
Calculamos derivadas:
y_{p2}'=-4C\sin 4x +4D\cos 4x,
y_{p2}''=-16C\cos 4x -16D\sin 4x.
Substituindo em y''+4y:
y_{p2}''+4y_{p2}=(-16C\cos 4x -16D\sin 4x)+4(C\cos 4x + D\sin 4x) =-12C\cos 4x -12D\sin 4x.
Esse resultado deve ser igual ao termo do lado direito correspondente, que é -\tfrac{1}{2}\cos 4x. Assim
-12C=-\tfrac{1}{2},\qquad -12D=0.
Portanto
C=\tfrac{1}{24},\qquad D=0.
Logo
y_{p2}=\tfrac{1}{24}\cos 4x.

Passo 6

Parte relativa a \tfrac{1}{2}\cos 2x (ressonância). Pela razão explicada no Passo 4, tomamos o ansatz
y_{p1}=x\bigl(a\cos 2x + b\sin 2x\bigr),
com a,b a determinar. Calculamos derivadas passo a passo.
Primeira derivada:
y_{p1}'=a\cos 2x + b\sin 2x + x\bigl(-2a\sin 2x +2b\cos 2x\bigr).
Segunda derivada (derivando termo a termo):
y_{p1}''=(-2a\sin 2x +2b\cos 2x) + (-2a\sin 2x +2b\cos 2x) + x(-4a\cos 2x -4b\sin 2x).
Simplificando:
y_{p1}''=(-4a\sin 2x +4b\cos 2x) + x(-4a\cos 2x -4b\sin 2x).

Passo 7

Agora somamos y_{p1}''+4y_{p1}. Note que
4y_{p1}=4x(a\cos 2x + b\sin 2x).
Somando com y_{p1}'' os termos em x se cancelam:
y_{p1}''+4y_{p1}=(-4a\sin 2x +4b\cos 2x) + x\bigl(-4a\cos 2x -4b\sin 2x +4a\cos 2x +4b\sin 2x\bigr).
O termo multiplicado por x é zero, restando
y_{p1}''+4y_{p1}=4\bigl(-a\sin 2x + b\cos 2x\bigr).
Esse resultado deve igualar o termo \tfrac{1}{2}\cos 2x. Igualando coeficientes de \cos 2x e \sin 2x:
4b=\tfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad b=\tfrac{1}{8},
-4a=0\quad\Rightarrow\quad a=0.
Portanto
y_{p1}=\tfrac{1}{8}x\sin 2x.

Passo 8

A solução particular completa é
y_p=y_{p1}+y_{p2}=\tfrac{1}{8}x\sin 2x + \tfrac{1}{24}\cos 4x.
A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=C_1\cos 2x + C_2\sin 2x + \tfrac{1}{8}x\sin 2x + \tfrac{1}{24}\cos 4x,
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_1\cos 2x + C_2\sin 2x + \tfrac{1}{8}x\sin 2x + \tfrac{1}{24}\cos 4x

Exercícios relacionados