Determine a solução geral de
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
Informações relevantes:
- É uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- O membro direito é o produto de senos
e . - Queremos encontrar a solução geral
, isto é, a soma da solução homogênea e de uma particular.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar o membro direito usando a identidade produto-para-soma. A identidade trigonométrica é
Aplicando com
e
obtemos
Como
, temos
Portanto a EDO fica
Passo 3
Resolvemos a equação homogênea associada
A equação característica é
, com raízes
. Logo a solução homogênea é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Para a solução particular usamos o método dos coeficientes indeterminados. Observação importante (ressonância): o termo
aparece na solução homogênea (mesma frequência), logo ao tentar um “ansatz” para essa parte devemos multiplicar por
. O termo
não causa ressonância, então para ele usamos o ansatz habitual de combinação de cosseno e seno.
Vamos construir a solução particular como soma de duas partes, uma para
e outra para
:
Passo 5
Parte relativa a
. Tentamos
Calculamos derivadas:
Substituindo em
:
Esse resultado deve ser igual ao termo do lado direito correspondente, que é
. Assim
Portanto
Logo
Passo 6
Parte relativa a
(ressonância). Pela razão explicada no Passo 4, tomamos o ansatz
com
a determinar. Calculamos derivadas passo a passo.
Primeira derivada:
Segunda derivada (derivando termo a termo):
Simplificando:
Passo 7
Agora somamos
. Note que
Somando com
os termos em
se cancelam:
O termo multiplicado por
é zero, restando
Esse resultado deve igualar o termo
. Igualando coeficientes de
e
:
Portanto
Passo 8
A solução particular completa é
A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
onde
são constantes arbitrárias.