Determine a solução geral de
Passo 1
O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial
Informações dadas e observações imediatas:
- A incógnita é
. - Temos uma equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea com coeficientes constantes.
- O lado direito é o produto de senos:
.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar o lado direito usando uma identidade trigonométrica conhecida. A identidade para produto de senos é
Aplicando com
e
obtemos
Como
, fica
Portanto a equação escrita de forma mais conveniente é
Passo 3
Vamos achar a solução geral da parte homogênea associada:
Formamos a equação característica
, cujas raízes são
. Isso nos dá as soluções básicas
Logo a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Pelo princípio da superposição (linearidade), uma solução particular
da equação não-homogênea pode ser obtida somando soluções particulares para cada termo do lado direito separadamente. Ou seja, procuramos
onde
resolve
e
resolve
.
Passo 5
Começamos por
(o termo com
), pois não há ressonância com a homogênea. Tomamos a forma de tentativa padrão
onde
e
são constantes a determinar. Calculamos
Então
Queremos que isso seja igual a
. Igualando coeficientes de
e
obtemos
Portanto
Passo 6
Agora tratamos
para o termo
. Note algo importante:
e
já são soluções da homogênea
. Isso cria ressonância; a tentativa direta
falharia porque produziria identicamente zero quando substituída em
. A técnica padrão para ressonância é multiplicar a tentativa por
. Então tomamos
com
constantes a determinar. Para simplificar a conta, defina
, então
. Calculamos derivadas cuidadosamente:
Primeira derivada:
segunda derivada:
Note que
porque
é combinação de
e
. Então
Somando
temos
Portanto o operador
aplicado a essa forma simples reduz a
. Agora calculamos
:
Logo
Queremos que isso seja igual a
. Igualando coeficientes de
e
obtemos
Assim
Passo 7
Juntando os particulares:
Passo 8
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução homogênea com a particular:
onde
e
são constantes arbitrárias. Se quiser, pode reescrever agrupando
:
mas a forma anterior já é clara.