Determine a solução geral de y^{\prime \prime}+y=\operatorname{sen} x \operatorname{sen} 2 x

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial
y''+y=\operatorname{sen}x\operatorname{sen}2x.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A incógnita é y=y(x).
  • Temos uma equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea com coeficientes constantes.
  • O lado direito é o produto de senos: \operatorname{sen}x\operatorname{sen}2x.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar o lado direito usando uma identidade trigonométrica conhecida. A identidade para produto de senos é
\operatorname{sen}A\operatorname{sen}B=\tfrac{1}{2}\big(\cos(A-B)-\cos(A+B)\big).
Aplicando com A=x e B=2x obtemos
\operatorname{sen}x\operatorname{sen}2x=\tfrac{1}{2}\big(\cos(x-2x)-\cos(x+2x)\big)=\tfrac{1}{2}\big(\cos(-x)-\cos3x\big).
Como \cos(-x)=\cos x, fica
\operatorname{sen}x\operatorname{sen}2x=\tfrac{1}{2}\cos x-\tfrac{1}{2}\cos3x.
Portanto a equação escrita de forma mais conveniente é
y''+y=\tfrac{1}{2}\cos x-\tfrac{1}{2}\cos3x.

Passo 3

Vamos achar a solução geral da parte homogênea associada:
y''+y=0.
Formamos a equação característica \;r^2+1=0\;, cujas raízes são r=\pm i. Isso nos dá as soluções básicas
\cos x\quad\text{e}\quad\sin x.
Logo a solução geral da homogênea é
y_h=C_1\cos x+C_2\sin x,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 4

Pelo princípio da superposição (linearidade), uma solução particular y_p da equação não-homogênea pode ser obtida somando soluções particulares para cada termo do lado direito separadamente. Ou seja, procuramos
y_p=y_{p1}+y_{p2},
onde y_{p1} resolve y''+y=\tfrac{1}{2}\cos x e y_{p2} resolve y''+y=-\tfrac{1}{2}\cos3x.

Passo 5

Começamos por y_{p2} (o termo com \cos3x), pois não há ressonância com a homogênea. Tomamos a forma de tentativa padrão
y_{p2}=A\cos3x+B\sin3x,
onde A e B são constantes a determinar. Calculamos
y_{p2}''=-9A\cos3x-9B\sin3x.
Então
y_{p2}''+y_{p2}=(-9A\cos3x-9B\sin3x)+(A\cos3x+B\sin3x)=-8A\cos3x-8B\sin3x.
Queremos que isso seja igual a -\tfrac{1}{2}\cos3x. Igualando coeficientes de \cos3x e \sin3x obtemos
-8A=-\tfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad A=\tfrac{1}{16},
-8B=0\quad\Rightarrow\quad B=0.
Portanto
y_{p2}=\tfrac{1}{16}\cos3x.

Passo 6

Agora tratamos y_{p1} para o termo \tfrac{1}{2}\cos x. Note algo importante: \cos x e \sin x já são soluções da homogênea y_h. Isso cria ressonância; a tentativa direta A\cos x+B\sin x falharia porque produziria identicamente zero quando substituída em y''+y. A técnica padrão para ressonância é multiplicar a tentativa por x. Então tomamos
y_{p1}=x\big(a\cos x+b\sin x\big),
com a,b constantes a determinar. Para simplificar a conta, defina u(x)=a\cos x+b\sin x, então y_{p1}=x u(x). Calculamos derivadas cuidadosamente:
Primeira derivada:
y_{p1}'=u + x u',
segunda derivada:
y_{p1}''=u' + u' + x u'' = 2u' + x u''.
Note que u''=-u porque u é combinação de \cos e \sin. Então
y_{p1}''=2u' - x u.
Somando y_{p1}''+y_{p1} temos
y_{p1}''+y_{p1}=(2u' - x u) + x u = 2u'.
Portanto o operador y''+y aplicado a essa forma simples reduz a 2u'. Agora calculamos u':
u'(x)=-a\sin x + b\cos x.
Logo
y_{p1}''+y_{p1}=2(-a\sin x + b\cos x)=-2a\sin x + 2b\cos x.
Queremos que isso seja igual a \tfrac{1}{2}\cos x. Igualando coeficientes de \cos x e \sin x obtemos
-2a=0\quad\Rightarrow\quad a=0,
2b=\tfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad b=\tfrac{1}{4}.
Assim
y_{p1}=x\big(0\cdot\cos x + \tfrac{1}{4}\sin x\big)=\tfrac{x}{4}\sin x.

Passo 7

Juntando os particulares:
y_p=y_{p1}+y_{p2}=\tfrac{x}{4}\sin x+\tfrac{1}{16}\cos3x.

Passo 8

A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução homogênea com a particular:
y=C_1\cos x+C_2\sin x+\tfrac{x}{4}\sin x+\tfrac{1}{16}\cos3x,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. Se quiser, pode reescrever agrupando \sin x:
y=C_1\cos x+\big(C_2+\tfrac{x}{4}\big)\sin x+\tfrac{1}{16}\cos3x,
mas a forma anterior já é clara.

Resposta

y=C_{1}\cos x+C_{2}\sin x+\dfrac{x}{4}\sin x+\dfrac{1}{16}\cos3x

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