Determine a solução geral de
Passo 1
O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial
Informações dadas e observações úteis que já podemos listar sem resolver:
- A equação é linear, de segunda ordem, não homogênea, com coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo pode ser simplificado usando
; portanto a fonte é . - Não há condições iniciais; querem a solução geral (com constantes arbitrárias).
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
Explico a técnica: para equações lineares de coeficientes constantes procuramos soluções da forma
. Substituindo obtemos a equação característica
cuja solução é
. Assim a solução geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
para a equação completa
Por que não usar coeficientes indeterminados? Porque o termo à direita
(função hiperbólica inversa) não pertence a uma família polinomial/exponencial/trigonométrica simples adequada a esse método. Então usamos variação de parâmetros, que sempre funciona para equações lineares de segunda ordem quando conhecemos duas soluções fundamentais.
Passo 4
Vou aplicar variação de parâmetros com as soluções fundamentais
e
.
A fórmula padrão (explicando o que é cada coisa) é:
A fórmula padrão (explicando o que é cada coisa) é:
onde
é o lado direito e
é o wronskiano
.
Calculo do wronskiano:
Calculo do wronskiano:
portanto
Passo 5
Precisamos calcular as duas integrais
Vou calcular primeiro as primitivas básicas (vou chamar de
e
):
Faça a substituição
. Então
Agora
Usando
podemos escrever
Observe que
(até constantes de integração).
Passo 6
Retornando às integrais
com
:
Pela fórmula de variação de parâmetros:
Substituindo
obtemos
onde lembramos
. Assim uma expressão particular é
Passo 7
Podemos simplificar
usando a identidade
, pois
Substituindo em
:
Repare que
e que o termo
é uma combinação linear de
e
(pois
). Portanto esse último termo pode ser absorvido pelos coeficientes
da solução homogênea. Assim, podemos escolher como particular mais simples (removendo o termo absorvível pela homogênea):
Passo 8
Juntando homogênea e particular, a solução geral da equação é
onde
e
são constantes arbitrárias. (Forma alternativa equivalente é
.)