Determine a solução geral de y^{\prime \prime}-y=\frac{2}{e^{x}+e^{-x}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial
y''-y=\frac{2}{e^{x}+e^{-x}}.
Informações dadas e observações úteis que já podemos listar sem resolver:
  • A equação é linear, de segunda ordem, não homogênea, com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo pode ser simplificado usando e^{x}+e^{-x}=2\operatorname{cosh} x; portanto a fonte é \dfrac{2}{e^{x}+e^{-x}}=\operatorname{sech}x.
  • Não há condições iniciais; querem a solução geral (com constantes arbitrárias).

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
y''-y=0.
Explico a técnica: para equações lineares de coeficientes constantes procuramos soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo obtemos a equação característica
r^2-1=0,
cuja solução é r=\pm 1. Assim a solução geral da homogênea é
y_h=C_1 e^{x}+C_2 e^{-x},
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_p para a equação completa
y''-y=\operatorname{sech}x.
Por que não usar coeficientes indeterminados? Porque o termo à direita \operatorname{sech}x (função hiperbólica inversa) não pertence a uma família polinomial/exponencial/trigonométrica simples adequada a esse método. Então usamos variação de parâmetros, que sempre funciona para equações lineares de segunda ordem quando conhecemos duas soluções fundamentais.

Passo 4

Vou aplicar variação de parâmetros com as soluções fundamentais y_1=e^{x} e y_2=e^{-x}.
A fórmula padrão (explicando o que é cada coisa) é:
y_p = -y_1\int\frac{y_2\,f}{W}\,dx + y_2\int\frac{y_1\,f}{W}\,dx,
onde f(x)=\operatorname{sech}x é o lado direito e W é o wronskiano W=y_1y_2'-y_1'y_2.
Calculo do wronskiano:
y_1=e^{x},\quad y_1'=e^{x},\quad y_2=e^{-x},\quad y_2'=-e^{-x},
portanto
W=e^{x}(-e^{-x})-e^{x}e^{-x}=-1-1=-2.

Passo 5

Precisamos calcular as duas integrais
I_1=\int\frac{y_2 f}{W}\,dx=\int\frac{e^{-x}\operatorname{sech}x}{-2}\,dx,\qquad I_2=\int\frac{y_1 f}{W}\,dx=\int\frac{e^{x}\operatorname{sech}x}{-2}\,dx.
Vou calcular primeiro as primitivas básicas (vou chamar de A e B):
A=\int e^{x}\operatorname{sech}x\,dx=\int\frac{2e^{x}}{e^{x}+e^{-x}}\,dx=\int\frac{2e^{2x}}{e^{2x}+1}\,dx.
Faça a substituição t=e^{2x}\Rightarrow dt=2e^{2x}dx. Então
A=\int\frac{dt}{t+1}=\ln(1+t)+C=\ln(1+e^{2x})+C.
Agora
B=\int e^{-x}\operatorname{sech}x\,dx=\int\frac{2}{e^{2x}+1}\,dx.
Usando t=e^{2x}\Rightarrow dt=2e^{2x}dx podemos escrever
B=\int\frac{2}{t+1}\cdot\frac{dt}{2t}=\int\frac{dt}{t(t+1)}=\int\Big(\frac{1}{t}-\frac{1}{t+1}\Big)dt
=B=\ln t-\ln(t+1)+C=\ln\!\bigg(\frac{e^{2x}}{1+e^{2x}}\bigg)+C=2x-\ln(1+e^{2x})+C.
Observe que B=2x-A (até constantes de integração).

Passo 6

Retornando às integrais I_1,I_2 com W=-2:
I_1=-\tfrac{1}{2}B,\qquad I_2=-\tfrac{1}{2}A.
Pela fórmula de variação de parâmetros:
y_p=-y_1 I_1 + y_2 I_2 = -e^{x}\Big(-\tfrac{1}{2}B\Big)+e^{-x}\Big(-\tfrac{1}{2}A\Big) =\tfrac{1}{2}\big(e^{x}B-e^{-x}A\big).
Substituindo B=2x-A obtemos
y_p=\tfrac{1}{2}\big(e^{x}(2x-A)-e^{-x}A\big)=x e^{x}-A\operatorname{cosh} x,
onde lembramos A=\ln(1+e^{2x}). Assim uma expressão particular é
y_p = x e^{x}-\operatorname{cosh} x\ln(1+e^{2x}).

Passo 7

Podemos simplificar y_p usando a identidade 1+e^{2x}=2e^{x}\operatorname{cosh} x, pois
\ln(1+e^{2x})=\ln(2e^{x}\operatorname{cosh} x)=\ln 2 + x + \ln(\operatorname{cosh} x).
Substituindo em y_p:
y_p = x e^{x} - \operatorname{cosh} x(\ln 2 + x + \ln(\operatorname{cosh} x)) = x(e^{x}-\operatorname{cosh} x) -\operatorname{cosh} x\ln(\operatorname{cosh} x) - (\ln 2)\operatorname{cosh} x.
Repare que x(e^{x}-\operatorname{cosh} x)=x\operatorname{sinh} x e que o termo (\ln 2)\operatorname{cosh} x é uma combinação linear de e^{x} e e^{-x} (pois \operatorname{cosh} x=(e^{x}+e^{-x})/2). Portanto esse último termo pode ser absorvido pelos coeficientes C_1 e^{x}+C_2 e^{-x} da solução homogênea. Assim, podemos escolher como particular mais simples (removendo o termo absorvível pela homogênea):
y_p = x\operatorname{sinh} x - \operatorname{cosh} x\ln(\operatorname{cosh} x).

Passo 8

Juntando homogênea e particular, a solução geral da equação é
y(x)=C_1 e^{x}+C_2 e^{-x} + x\operatorname{sinh} x - \operatorname{cosh} x\ln(\operatorname{cosh} x),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. (Forma alternativa equivalente é y=C_1 e^{x}+C_2 e^{-x}+x e^{x}-\operatorname{cosh} x\ln(1+e^{2x}).)

Resposta

y(x)=C_1 e^{x}+C_2 e^{-x} + x\operatorname{sinh} x - \operatorname{cosh} x\ln(\operatorname{cosh} x).

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