Determine a solução geral de y^{\prime \prime}-y=\frac{e^{x}-e^{-x}}{x}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação linear não homogênea de segunda ordem
y''-y=\frac{e^x-e^{-x}}{x}.
O conteúdo principal é resolver a parte homogênea y''-y=0 e depois obter uma solução particular por variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro achamos a solução geral da equação homogênea associada
y''-y=0.
A equação característica é
r^2-1=0\quad\Longrightarrow\quad r=\pm1,
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y_h(x)=C_1e^x+C_2e^{-x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Para encontrar uma solução particular y_p usamos variação de parâmetros. Escrevemos
y_p(x)=u_1(x)e^x+u_2(x)e^{-x},
e impomos a condição
u_1'(x)e^x+u_2'(x)e^{-x}=0,
para simplificar as expressões em y_p''.

Passo 4

O Wronskiano das soluções e^x e e^{-x} é
W=\begin{vmatrix}e^x & e^{-x}\\\ e^x & -e^{-x}\end{vmatrix} =-2.

Passo 5

Pela fórmula de variação de parâmetros, se f(x)=\tfrac{e^x-e^{-x}}{x}, então
u_1'=-\frac{e^{-x}\,f(x)}{W} =\frac{e^{-x}(e^x-e^{-x})}{2x} =\frac{1-e^{-2x}}{2x},
u_2'=\frac{e^x\,f(x)}{W} =-\frac{e^x(e^x-e^{-x})}{2x} =-\frac{e^{2x}-1}{2x}.

Passo 6

Integramos para obter u_1 e u_2. Usando \displaystyle \int\frac{1}{x}dx=\ln x e a definição de integral exponencial \displaystyle \Ei(t)=\int_{t}^{\infty}\frac{e^{-s}}{s}ds, obtemos
u_1(x)=\int\frac{1-e^{-2x}}{2x}\,dx =\frac12\ln x-\frac12\,\Ei(-2x),
u_2(x)=-\int\frac{e^{2x}-1}{2x}\,dx =\frac12\ln x-\frac12\,\Ei(2x).

Passo 7

Logo a solução particular é
y_p(x) =e^x\Bigl(\tfrac12\ln x-\tfrac12\Ei(-2x)\Bigr) +e^{-x}\Bigl(\tfrac12\ln x-\tfrac12\Ei(2x)\Bigr).
Somando com y_h, a solução geral fica

Resposta

\boxed{ y(x) =C_1e^x+C_2e^{-x} +\frac{\ln x}{2}\bigl(e^x+e^{-x}\bigr) -\frac12\bigl(e^x\,\Ei(-2x)+e^{-x}\,\Ei(2x)\bigr). }

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