Determine a solução geral de y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=\frac{e^{x}}{x}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes
y'' - 2y' + y = \frac{e^x}{x}.
O conteúdo envolvido é: (i) encontrar a solução geral da equação homogênea associada; (ii) obter uma solução particular usando o método de variação de parâmetros, já que o termo não homogêneo \frac{e^x}{x} não se ajusta ao método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' - 2y' + y = 0.
Formamos a equação característica
r^2 - 2r + 1 = 0,
cuja raiz é dupla:
r = 1 \quad (\text{multiplicidade }2).
Portanto a solução geral da homogênea é
y_h = C_1 e^x + C_2\,x e^x,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Para aplicar variação de parâmetros escolhemos
y_1 = e^x,\qquad y_2 = x e^x.
O Wronskiano de y_1,y_2 é
W = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} e^x & x e^x \\\ e^x & (x+1)e^x \end{vmatrix} = e^x\cdot(x+1)e^x - e^x\cdot x e^x = e^{2x}.
A razão não homogênea é f(x)=\frac{e^x}{x}. Pelas fórmulas de variação de parâmetros, definimos
u_1' = -\frac{y_2\,f(x)}{W},\qquad u_2' = \frac{y_1\,f(x)}{W}.

Passo 4

Calculando u_1' e u_2':
u_1' = -\frac{x e^x \,\bigl(e^x/x\bigr)}{e^{2x}} = -\frac{e^{2x}}{e^{2x}} = -1,
u_2' = \frac{e^x \,\bigl(e^x/x\bigr)}{e^{2x}} = \frac{e^{2x}}{x\,e^{2x}} = \frac{1}{x}.
Agora integramos:
u_1 = \int u_1'\,dx = \int (-1)\,dx = -x,
u_2 = \int u_2'\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|.

Passo 5

A solução particular fica
y_p = u_1\,y_1 + u_2\,y_2 = (-x)\,e^x + (\ln|x|)\,(x e^x) = x e^x\bigl(\ln|x| - 1\bigr).
Então a solução geral da equação original é
y = y_h + y_p = C_1 e^x + C_2\,x e^x + x e^x\bigl(\ln|x| - 1\bigr).

Resposta

y = e^x\bigl(C_1 + C_2 x + x\ln|x| - x\bigr), onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

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