Determine a solução geral de y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=\frac{e^{x}}{x}
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes
y'' - 2y' + y = \frac{e^x}{x}.
O conteúdo envolvido é: (i) encontrar a solução geral da equação homogênea associada; (ii) obter uma solução particular usando o método de variação de parâmetros, já que o termo não homogêneo \frac{e^x}{x} não se ajusta ao método dos coeficientes indeterminados.
Passo 2
A equação homogênea associada é
y'' - 2y' + y = 0.
Formamos a equação característica
r^2 - 2r + 1 = 0,
cuja raiz é dupla:
r = 1 \quad (\text{multiplicidade }2).
Portanto a solução geral da homogênea é
y_h = C_1 e^x + C_2\,x e^x,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.
Passo 3
Para aplicar variação de parâmetros escolhemos
y_1 = e^x,\qquad y_2 = x e^x.
O Wronskiano de y_1,y_2 é
W = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} e^x & x e^x \\\ e^x & (x+1)e^x \end{vmatrix} = e^x\cdot(x+1)e^x - e^x\cdot x e^x = e^{2x}.
A razão não homogênea é f(x)=\frac{e^x}{x}. Pelas fórmulas de variação de parâmetros, definimos