Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações relevantes dadas/observações:
- A expressão envolve
e . - Para usar
devemos ter , logo o limite faz sentido apenas pela direita; portanto consideramos . - Há uma indeterminação provável porque, quando
, e , então a forma é do tipo (indeterminada). - A figura enviada não contém dados relevantes para este problema (aparentemente é outra questão), então não a usamos.
Passo 2
Estratégia padrão para potências com indeterminação do tipo
: tomar logaritmo natural da expressão para transformar a potência em produto, calcular o limite do logaritmo e depois voltar pela exponencial. Isto é seguro porque a função exponencial é contínua e monotônica.
Se chamarmos a expressão de
,
então
Nosso objetivo agora é calcular
Passo 3
Analisando o comportamento das partes ao ir a zero:
- Para
, (pequeno-ângulo), então . - Logo
e , ou seja, o quociente é do tipo , que é uma indeterminação do tipo (podemos usar aproximações ou L’Hôpital).
Vou fazer duas maneiras didáticas para obter o limite do quociente; você pode usar qualquer uma na prova.
Passo 4
Usamos aproximações para
pequeno:
-
. -
.
Então
Fatorando
,
Multiplicando as séries,
Agora aplicamos logaritmo:
Usando
e
,
Dividindo por
,
Quando
, temos
e
, portanto
Passo 5
Queremos
forma
. Aplicamos L’Hôpital diferenciando numerador e denominador:
Derivada do numerador:
Como
e
, temos
Derivada do denominador:
Pelo L’Hôpital,
Para
,
e
, logo
Assim o limite do quociente também é
, confirmando o método anterior.
Passo 6
Voltando à variável original: encontramos
Como
e a exponencial é contínua,
Um pequeno check numérico mental: para
a base
é grande (≈1000), o expoente
é pequeno e negativo; o resultado aproximado tende para
, consistente com a conclusão.