\lim _{x \rightarrow 0}(\operatorname{cotg} x)^{1 / \ln x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0} \bigl(\operatorname{cotg} x\bigr)^{1/\ln x}.
Informações relevantes dadas/observações:
  • A expressão envolve \operatorname{cotg} x e \ln x.
  • Para usar \ln x devemos ter x>0, logo o limite faz sentido apenas pela direita; portanto consideramos \displaystyle\lim_{x\to 0^+}.
  • Há uma indeterminação provável porque, quando x\to 0^+, \operatorname{cotg} x\to +\infty e \ln x\to -\infty, então a forma é do tipo \infty^{0} (indeterminada).
  • A figura enviada não contém dados relevantes para este problema (aparentemente é outra questão), então não a usamos.

Passo 2

Estratégia padrão para potências com indeterminação do tipo \infty^{0}: tomar logaritmo natural da expressão para transformar a potência em produto, calcular o limite do logaritmo e depois voltar pela exponencial. Isto é seguro porque a função exponencial é contínua e monotônica.
Se chamarmos a expressão de y,
y = \bigl(\operatorname{cotg} x\bigr)^{1/\ln x},
então
\ln y = \frac{\ln(\operatorname{cotg} x)}{\ln x}.
Nosso objetivo agora é calcular
\lim_{x\to 0^+} \ln y = \lim_{x\to 0^+} \frac{\ln(\operatorname{cotg} x)}{\ln x}.

Passo 3

Analisando o comportamento das partes ao ir a zero:
  • Para x\to 0^+, \operatorname{cotg} x = \dfrac{\cos x}{\sin x}\approx \dfrac{1}{x} (pequeno-ângulo), então \operatorname{cotg} x\to +\infty.
  • Logo \ln(\operatorname{cotg} x)\to +\infty e \ln x\to -\infty, ou seja, o quociente é do tipo \dfrac{+\infty}{-\infty}, que é uma indeterminação do tipo \infty/\infty (podemos usar aproximações ou L’Hôpital).
Vou fazer duas maneiras didáticas para obter o limite do quociente; você pode usar qualquer uma na prova.

Passo 4

Usamos aproximações para x pequeno:
  • \sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + O(x^5).
  • \cos x = 1 - \dfrac{x^2}{2} + O(x^4).
Então
\operatorname{cotg} x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1 - \dfrac{x^2}{2} + O(x^4)}{x - \dfrac{x^3}{6} + O(x^5)}.
Fatorando 1/x,
\operatorname{cotg} x = \frac{1}{x}\cdot\frac{1 - \dfrac{x^2}{2} + O(x^4)}{1 - \dfrac{x^2}{6} + O(x^4)} = \frac{1}{x}\left(1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)\right)\left(1 + \frac{x^2}{6} + O(x^4)\right).
Multiplicando as séries,
\operatorname{cotg} x = \frac{1}{x}\left(1 - \frac{x^2}{3} + O(x^4)\right).
Agora aplicamos logaritmo:
\ln(\operatorname{cotg} x) = \ln\!\left(\frac{1}{x}\right) + \ln\!\left(1 - \frac{x^2}{3} + O(x^4)\right).
Usando \ln\!\left(\dfrac{1}{x}\right) = -\ln x e \ln(1+u)=u+O(u^2),
\ln(\operatorname{cotg} x) = -\ln x - \frac{x^2}{3} + O(x^4).
Dividindo por \ln x,
\frac{\ln(\operatorname{cotg} x)}{\ln x} = \frac{-\ln x - \dfrac{x^2}{3} + O(x^4)}{\ln x} = -1 - \frac{x^2}{3\ln x} + O\!\left(\frac{x^4}{\ln x}\right).
Quando x\to 0^+, temos \ln x\to -\infty e x^2/|\ln x|\to 0, portanto
\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln(\operatorname{cotg} x)}{\ln x} = -1.

Passo 5

Queremos
\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln(\operatorname{cotg} x)}{\ln x},
forma \infty/\infty. Aplicamos L’Hôpital diferenciando numerador e denominador:
Derivada do numerador:
\frac{d}{dx}\ln(\operatorname{cotg} x) = \frac{(\operatorname{cotg} x)'}{\operatorname{cotg} x} = \frac{-\csc^2 x}{\operatorname{cotg} x}.
Como \csc^2 x = 1/\sin^2 x e \operatorname{cotg} x=\cos x/\sin x, temos
\frac{-\csc^2 x}{\operatorname{cotg} x} = -\frac{1/\sin^2 x}{\cos x/\sin x} = -\frac{1}{\sin x\cos x}.
Derivada do denominador:
\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}.
Pelo L’Hôpital,
\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln(\operatorname{cotg} x)}{\ln x} = \lim_{x\to 0^+}\frac{-1/(\sin x\cos x)}{1/x} = \lim_{x\to 0^+}\left(-\frac{x}{\sin x\cos x}\right).
Para x\to 0^+, \sin x\sim x e \cos x\sim 1, logo
\lim_{x\to 0^+}\left(-\frac{x}{\sin x\cos x}\right) = -\frac{x}{x\cdot 1} = -1.
Assim o limite do quociente também é -1, confirmando o método anterior.

Passo 6

Voltando à variável original: encontramos
\lim_{x\to 0^+} \ln y = -1.
Como y=\bigl(\operatorname{cotg} x\bigr)^{1/\ln x} e a exponencial é contínua,
\lim_{x\to 0^+} y = \exp\!\bigl(\lim_{x\to 0^+}\ln y\bigr) = e^{-1} = \frac{1}{e}.
Um pequeno check numérico mental: para x=0{,}001 a base \operatorname{cotg} x é grande (≈1000), o expoente 1/\ln x é pequeno e negativo; o resultado aproximado tende para 1/e, consistente com a conclusão.

Resposta

\dfrac{1}{e}

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