Determine a solução geral de y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=x^{5} e^{x} \operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y''-2y'+y = x^{5}e^{x}\sin x.
Informações relevantes dadas:
  • É uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O membro à direita é x^{5}e^{x}\sin x.
  • Queremos a solução geral y(x), ou seja, a soma da solução geral da homogênea e de uma particular.

Passo 2

Começamos pela equação homogênea associada:
y''-2y'+y=0.
A equação característica é
r^{2}-2r+1=0.
Resolvendo,
(r-1)^{2}=0,
logo temos raiz dupla r=1 (multiplicidade 2). Portanto a solução geral da homogênea é
y_h(x) = e^{x}\big(C_{1}+C_{2}x\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p para a equação completa. O termo forçante é da forma
x^{5}e^{x}\sin x = \Im\big(x^{5}e^{(1+i)x}\big),
onde \Im denota a parte imaginária e i^{2}=-1. Uma técnica eficiente é resolver primeiro a equação complexa
y^{\text{(c)}''}-2y^{\text{(c)}'}+y^{\text{(c)}} = x^{5}e^{(1+i)x}
propondo uma solução da forma y^{\text{(c)}}=e^{(1+i)x}u(x) com u(x) polinomial; depois tomamos a parte imaginária de y^{\text{(c)}} para obter y_p. Justificativa do passo: para um operador linear com coeficientes constantes L(D), vale a identidade
L(D)\big[e^{\lambda x}u(x)\big] = e^{\lambda x} L(D+\lambda)\big[u(x)\big],
onde D=\dfrac{d}{dx}. Aqui L(r)=r^{2}-2r+1.

Passo 4

Escolhemos \lambda=1+i. Então
L(D+\lambda) = (D+\lambda-1)^{2} = (D+i)^{2}.
Queremos e^{(1+i)x} (D+i)^{2}u(x) = x^{5}e^{(1+i)x}, portanto u(x) deve satisfazer a equação (sem o fator exponencial)
(D+i)^{2}u(x) = x^{5}.
Expandindo o operador,
(D+i)^{2} = D^{2}+2iD-1,
então a equação para u é
u'' + 2 i u' - u = x^{5}.

Passo 5

Proponho u(x) como polinômio de grau 5:
u(x)=c_{5}x^{5}+c_{4}x^{4}+c_{3}x^{3}+c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0},
com coeficientes c_{k} complexos a determinar. Calculamos derivadas:
u'(x)=5c_{5}x^{4}+4c_{4}x^{3}+3c_{3}x^{2}+2c_{2}x+c_{1},
u''(x)=20c_{5}x^{3}+12c_{4}x^{2}+6c_{3}x+2c_{2}.
Substituindo em u''+2iu'-u=x^{5} e igualando coeficientes de potências x^{n} obtemos um sistema. Faço termo a termo:
  • Coeficiente de x^{5}:
- c_{5} = 1 \quad\Rightarrow\quad c_{5} = -1.
  • Coeficiente de x^{4}:
10 i c_{5} - c_{4} = 0 \quad\Rightarrow\quad c_{4} = 10 i c_{5} = 10 i(-1) = -10 i.
  • Coeficiente de x^{3}:
20 c_{5} + 8 i c_{4} - c_{3} = 0 \quad\Rightarrow\quad c_{3} = 20 c_{5} + 8 i c_{4}.
Substituindo c_{5}=-1 e c_{4}=-10 i:
c_{3} = 20(-1) + 8 i(-10 i) = -20 + 8(-10)i^{2} = -20 + 80 = 60.
  • Coeficiente de x^{2}:
12 c_{4} + 6 i c_{3} - c_{2} = 0 \quad\Rightarrow\quad c_{2} = 12 c_{4} + 6 i c_{3}.
Com os valores já encontrados:
c_{2} = 12(-10 i) + 6 i(60) = -120 i + 360 i = 240 i.
  • Coeficiente de x^{1}:
6 c_{3} + 4 i c_{2} - c_{1} = 0 \quad\Rightarrow\quad c_{1} = 6 c_{3} + 4 i c_{2}.
Substituindo:
c_{1} = 6(60) + 4 i(240 i) = 360 + 960 i^{2} = 360 - 960 = -600.
  • Coeficiente constante x^{0}:
2 c_{2} + 2 i c_{1} - c_{0} = 0 \quad\Rightarrow\quad c_{0} = 2 c_{2} + 2 i c_{1}.
Substituindo:
c_{0} = 2(240 i) + 2 i(-600) = 480 i -1200 i = -720 i.
Assim os coeficientes são
\begin{aligned} c_{5} &= -1,\\\ c_{4} &= -10 i,\\\ c_{3} &= 60,\\\ c_{2} &= 240 i,\\\ c_{1} &= -600,\\\ c_{0} &= -720 i. \end{aligned}

Passo 6

Escrevemos u(x) separando parte real p(x) e imaginária q(x), isto é u(x)=p(x)+i q(x). Dos coeficientes:
p(x) = -x^{5} + 60x^{3} -600x,
q(x) = -10x^{4} + 240x^{2} -720.
Lembre que y^{\text{(c)}}(x)=e^{(1+i)x}u(x). Escrevendo e^{(1+i)x}=e^{x}(\cos x + i\sin x) e extraindo a parte imaginária, a solução particular real é
y_{p}(x) = \Im\big(y^{\text{(c)}}(x)\big) = e^{x}\big(p(x)\sin x + q(x)\cos x\big).

Passo 7

Portanto a solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = y_{h}(x) + y_{p}(x) = e^{x}\big(C_{1}+C_{2}x\big) + e^{x}\big(p(x)\sin x + q(x)\cos x\big),
onde p e q são os polinômios acima.

Resposta

y(x)=e^{x}\big(C_{1}+C_{2}x\big)+e^{x}\Big[\big(-x^{5}+60x^{3}-600x\big)\sin x+\big(-10x^{4}+240x^{2}-720\big)\cos x\Big].

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