Determine a solução geral de
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
Informações relevantes dadas:
- É uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- O membro à direita é
. - Queremos a solução geral
, ou seja, a soma da solução geral da homogênea e de uma particular.
Passo 2
Começamos pela equação homogênea associada:
A equação característica é
Resolvendo,
logo temos raiz dupla
(multiplicidade 2). Portanto a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
para a equação completa. O termo forçante é da forma
onde
denota a parte imaginária e
. Uma técnica eficiente é resolver primeiro a equação complexa
propondo uma solução da forma
com
polinomial; depois tomamos a parte imaginária de
para obter
. Justificativa do passo: para um operador linear com coeficientes constantes
, vale a identidade
onde
. Aqui
.
Passo 4
Escolhemos
. Então
Queremos
, portanto
deve satisfazer a equação (sem o fator exponencial)
Expandindo o operador,
então a equação para
é
Passo 5
Proponho
como polinômio de grau 5:
com coeficientes
complexos a determinar. Calculamos derivadas:
Substituindo em
e igualando coeficientes de potências
obtemos um sistema. Faço termo a termo:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
Substituindo
e
:
- Coeficiente de
:
Com os valores já encontrados:
- Coeficiente de
:
Substituindo:
- Coeficiente constante
:
Substituindo:
Assim os coeficientes são
Passo 6
Escrevemos
separando parte real
e imaginária
, isto é
. Dos coeficientes:
Lembre que
. Escrevendo
e extraindo a parte imaginária, a solução particular real é
Passo 7
Portanto a solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular:
onde
e
são os polinômios acima.