Determine a solução geral de y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=x^{7} e^{x} \operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear não-homogênea de segunda ordem
y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+y = x^{7} e^{x}\sin x
e pede a solução geral y(x).
Informações relevantes que já temos: o lado direito é x^{7} e^{x}\sin x. A equação é com coeficientes constantes. A solução geral será soma da solução geral da homogênea e de uma particular da não-homogênea. Não vamos ainda resolver nada, apenas anotamos o que é pedido.

Passo 2

Resolvendo a equação homogênea associada
y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+y=0.
Formamos a equação característica
r^{2}-2r+1=0,
que é (r-1)^{2}=0. Logo temos raiz real r=1 de multiplicidade 2. Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(x) = \big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. (Explicação curta: para raiz simples e^{rx} é solução; para raiz de multiplicidade 2 temos também x e^{rx}.)

Passo 3

Analisando o termo não-homogêneo x^{7} e^{x}\sin x: para usar coeficientes indeterminados reconhecemos a forma e^{ax}(\text{polinômio})\cdot\sin(bx)ô. Aqui a=1 e b=1 e o polinômio é x^{7}. A técnica padrão diz que devemos tentar uma solução particular da forma
y_{p}(x) = e^{x}\big(P_{7}(x)\cos x + Q_{7}(x)\sin x\big),
onde P_{7} e Q_{7} são polinômios reais de grau \le 7 com coeficientes a determinar. Justificativa: derivar e^{x}\cos x e e^{x}\sin x produz combinações lineares de e^{x}\cos x e e^{x}\sin x multiplicadas por polinômios; como o termo forçante tem polinômio de grau 7, precisamos de polinômios até grau 7. Antes de fixar isso verificamos ressonância: as funções e^{x}\cos x e e^{x}\sin x correspondem ao modo complexo e^{(1+i)x} (autovalor 1\pm i), que não coincide com a raiz r=1 da homogênea; portanto não precisamos multiplicar por potências extras de x. Assim a forma acima é correta (grau 7) — ótimo, menos trabalho que se houvesse ressonância.

Passo 4

Método prático (complexificação) para reduzir contas: considere a função complexa
z(x)=e^{(1+i)x}R(x),
com R(x) polinômio (complexo) de grau \le 7. Note que \operatorname{Im}\big(z(x)\big)=e^{x}\big(\Re(R)\sin x+\Im(R)\cos x\big), que é do mesmo tipo de y_{p}. De fato x^{7}e^{x}\sin x = \operatorname{Im}\big(x^{7} e^{(1+i)x}\big). Se encontrarmos z tal que
\big(D^{2}-2D+1\big)z = x^{7} e^{(1+i)x},
então a parte imaginária de z será uma solução particular real da equação original. Aqui D denota derivação em x.
Usamos a propriedade de deslocamento: para um operador polinomial L(D) vale
L(D)\big(e^{ax}u(x)\big) = e^{ax} L(D+a)\big(u(x)\big).
Aplicando com L(D)=(D-1)^{2} e a=1+i obtemos
(D-1)^{2}\big(e^{(1+i)x}R(x)\big) = e^{(1+i)x}\big(D-1+1+i\big)^{2}R(x) = e^{(1+i)x}\big(D+i\big)^{2}R(x).
Portanto a condição sobre R é a equação polinomial
\big(D+i\big)^{2}R(x) = x^{7}.
Ou seja, precisamos achar um polinômio R (complexo) grau \le 7 tal que ao aplicar (\tfrac{d}{dx}+i)^{2} obtenhamos x^{7}. Isso é um sistema linear para os coeficientes de R e tem solução única (pois a aplicação linear sobre o espaço de polinômios grau \le7 é invertível aqui).

Passo 5

Conhecendo a equação (D+i)^{2}R = x^{7} podemos tirar algumas informações úteis e descrever como resolver na prática:
  • Se escrevemos R(x)=\sum_{k=0}^{7} r_{k}x^{k} (coeficientes complexos r_{k}), então aplicar (D+i) duas vezes produz um polinômio de grau \le 7. Igualando coeficientes em ambos os lados obtemos um sistema linear de 8 equações para os 8 incógnitas r_{0},\dots,r_{7}. Resolve-se por eliminação Gaussiana — é mecânico, embora trabalhoso.
  • Podemos, porém, obter imediatamente o coeficiente do termo x^{7} de R. Suponha R(x)=a x^{7}+ termos de grau menor. Calculemos o coeficiente do x^{7} em (D+i)^{2}R. Ao aplicar (D+i) em a x^{7} o termo de grau 7 resultante é i a x^{7}. Aplicando (D+i) de novo, o coeficiente do x^{7} torna-se i\cdot(i a) = -a. Logo o coeficiente de x^{7} em (D+i)^{2}R é -a. Como devemos obter x^{7} (coeficiente 1), segue -a=1 e portanto
\text{o coeficiente líder de }R\text{ é }a=-1.íé
Isso já nos dá informação sobre os polinômios reais que aparecerão na parte particular.
  • Depois de determinar todos os r_{k} (resolvendo o sistema), obtemos z(x)=e^{(1+i)x}R(x) e então a particular real é
y_{p}(x)=\operatorname{Im}\big(z(x)\big) = e^{x}\big(P_{7}(x)\cos x + Q_{7}(x)\sin x\big),
com P_{7} e Q_{7} polinômios reais de grau \le 7 determinados pelos r_{k}. Em resumo: existe e é única uma solução particular dessa forma; para encontrá-la explicitamente basta montar e resolver o sistema linear obtido ao substituir a forma em y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+y e igualar a x^{7}e^{x}\sin x.

Passo 6

Juntando homogênea e particular temos a solução geral
y(x) = y_{h}(x) + y_{p}(x) = \big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{x} + e^{x}\big(P_{7}(x)\cos x + Q_{7}(x)\sin x\big),
onde P_{7} e Q_{7} são polinômios reais de grau \le 7 cujos coeficientes podem ser determinados explicitamente resolvendo o sistema linear vindo da substituição (ou, equivalentemente, resolvendo (D+i)^{2}R=x^{7} para R e tomando a parte imaginária de e^{(1+i)x}R). Lembre que o coeficiente líder de R é -1, o que implica restrições imediatas sobre os termos de grau 7 de P_{7} e Q_{7}.

Resposta

y(x)=\big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{x}+e^{x}\big(P_{7}(x)\cos x+Q_{7}(x)\sin x\big),
onde P_{7} e Q_{7} são polinômios reais de grau \le 7 determinados unicamente pela igualdade
y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+y=x^{7}e^{x}\sin x.

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