Determine a solução geral de
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear não-homogênea de segunda ordem
e pede a solução geral
.
Informações relevantes que já temos: o lado direito é . A equação é com coeficientes constantes. A solução geral será soma da solução geral da homogênea e de uma particular da não-homogênea. Não vamos ainda resolver nada, apenas anotamos o que é pedido.
Informações relevantes que já temos: o lado direito é
Passo 2
Resolvendo a equação homogênea associada
Formamos a equação característica
que é
. Logo temos raiz real
de multiplicidade 2. Portanto a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias. (Explicação curta: para raiz simples
é solução; para raiz de multiplicidade 2 temos também
.)
Passo 3
Analisando o termo não-homogêneo
: para usar coeficientes indeterminados reconhecemos a forma
. Aqui
e
e o polinômio é
. A técnica padrão diz que devemos tentar uma solução particular da forma
onde
e
são polinômios reais de grau
com coeficientes a determinar. Justificativa: derivar
e
produz combinações lineares de
e
multiplicadas por polinômios; como o termo forçante tem polinômio de grau 7, precisamos de polinômios até grau 7. Antes de fixar isso verificamos ressonância: as funções
e
correspondem ao modo complexo
(autovalor
), que não coincide com a raiz
da homogênea; portanto não precisamos multiplicar por potências extras de
. Assim a forma acima é correta (grau 7) — ótimo, menos trabalho que se houvesse ressonância.
Passo 4
Método prático (complexificação) para reduzir contas: considere a função complexa
com
polinômio (complexo) de grau
. Note que
, que é do mesmo tipo de
. De fato
. Se encontrarmos
tal que
então a parte imaginária de
será uma solução particular real da equação original. Aqui
denota derivação em
.
Usamos a propriedade de deslocamento: para um operador polinomial
vale
Aplicando com
e
obtemos
Portanto a condição sobre
é a equação polinomial
Ou seja, precisamos achar um polinômio
(complexo) grau
tal que ao aplicar
obtenhamos
. Isso é um sistema linear para os coeficientes de
e tem solução única (pois a aplicação linear sobre o espaço de polinômios grau
é invertível aqui).
Passo 5
Conhecendo a equação
podemos tirar algumas informações úteis e descrever como resolver na prática:
-
Se escrevemos
(coeficientes complexos ), então aplicar duas vezes produz um polinômio de grau . Igualando coeficientes em ambos os lados obtemos um sistema linear de 8 equações para os 8 incógnitas . Resolve-se por eliminação Gaussiana — é mecânico, embora trabalhoso. -
Podemos, porém, obter imediatamente o coeficiente do termo
de . Suponha termos de grau menor. Calculemos o coeficiente do em . Ao aplicar em o termo de grau 7 resultante é . Aplicando de novo, o coeficiente do torna-se . Logo o coeficiente de em é . Como devemos obter (coeficiente ), segue e portanto
Isso já nos dá informação sobre os polinômios reais que aparecerão na parte particular.
- Depois de determinar todos os
(resolvendo o sistema), obtemos e então a particular real é
com
e
polinômios reais de grau
determinados pelos
. Em resumo: existe e é única uma solução particular dessa forma; para encontrá-la explicitamente basta montar e resolver o sistema linear obtido ao substituir a forma em
e igualar a
.
Passo 6
Juntando homogênea e particular temos a solução geral
onde
e
são polinômios reais de grau
cujos coeficientes podem ser determinados explicitamente resolvendo o sistema linear vindo da substituição (ou, equivalentemente, resolvendo
para
e tomando a parte imaginária de
). Lembre que o coeficiente líder de
é
, o que implica restrições imediatas sobre os termos de grau 7 de
e
.
Resposta
onde
e
são polinômios reais de grau
determinados unicamente pela igualdade