Determine a solução e o intervalo maximal, das siguentes PVI:
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}-y^{2}-y=0 \\\ y(2)=4\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
\begin{cases} y' - y^2 - y = 0,\\\ y(2)=4 \end{cases}
Este é um caso de EDO separável, pois podemos escrever y' = y^2+y e separar variáveis em y e x.

Passo 2

Reescrevendo a equação em forma separável, temos
y' = y^2 + y \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = y(y+1) \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{y(y+1)} = dx.

Passo 3

Para integrar \frac{1}{y(y+1)}, fazemos frações parciais:
\frac{1}{y(y+1)} = \frac{1}{y} - \frac{1}{y+1}.
Assim
\int\Bigl(\frac{1}{y} - \frac{1}{y+1}\Bigr)dy = \int dx \quad\Longrightarrow\quad \ln\!\Bigl|\frac{y}{y+1}\Bigr| = x + C.

Passo 4

Exponenciando ambos os lados, obtemos
\frac{y}{y+1} = Ce^x.
Isolando y,
y = \frac{Ce^x}{1 - Ce^x}.

Passo 5

Aplicando a condição inicial y(2)=4,
4 = \frac{Ce^2}{1 - Ce^2} \;\Longrightarrow\; 4(1 - Ce^2) = Ce^2 \;\Longrightarrow\; 4 = 5Ce^2 \;\Longrightarrow\; C = \frac{4}{5}e^{-2}.
Logo a solução fica
y(x) = \frac{\tfrac{4}{5}e^{x-2}}{1 - \tfrac{4}{5}e^{x-2}} = \frac{4e^{x-2}}{5 - 4e^{x-2}}.

Passo 6

Para a solução existir, o denominador não pode se anular:
5 - 4e^{x-2} \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad e^{x-2} \neq \tfrac{5}{4} \quad\Longrightarrow\quad x \neq 2 + \ln\!\bigl(\tfrac{5}{4}\bigr).
O intervalo maximal que contém o ponto x=2 é
\bigl(-\infty,\;2 + \ln(\tfrac{5}{4})\bigr).

Resposta

y(x) = \displaystyle\frac{4e^{x-2}}{5 - 4e^{x-2}},
intervalo maximal de existência \bigl(-\infty,\;2 + \ln(\tfrac{5}{4})\bigr).

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