Determine a solução e o intervalo maximal, das siguentes PVI:
\left\{\begin{array}{l}x y y^{\prime}=1+y^{2} \\\ y(2)=3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução da PVI
\begin{cases} x\,y\,\dfrac{dy}{dx}=1+y^2,\\\ y(2)=3, \end{cases}
que é uma equação diferencial de variáveis separáveis.

Passo 2

Reescrevendo
x\,y\,\frac{dy}{dx}=1+y^2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{y}{1+y^2}\,dy=\frac{dx}{x}.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int \frac{y}{1+y^2}\,dy =\int \frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad \frac12\ln\bigl(1+y^2\bigr)=\ln\lvert x\rvert +C.
Elevando exponencialmente, obtemos
1+y^2 = K\,x^2,\quad K=e^{2C},
ou seja
y^2 = K\,x^2 -1, \quad y=\pm\sqrt{K\,x^2-1}.

Passo 4

Usando y(2)=3:
3^2 =K\cdot 2^2 -1 \quad\Longrightarrow\quad 9=4K-1 \quad\Longrightarrow\quad K=\frac{10}{4}=\frac52.

Passo 5

A condição inicial dá y(2)=3>0, então escolhemos o ramo positivo:
y(x)=\sqrt{\frac{5}{2}\,x^2-1} =\sqrt{\frac{5x^2-2}{2}}\,.

Passo 6

Para manter o radical real e evitar singularidades em x\,y no denominador de dy/dx, requeremos
\frac{5}{2}\,x^2-1\ge0 \quad\Longrightarrow\quad x^2\ge\frac{2}{5} \quad\Longrightarrow\quad |x|\ge\sqrt{\frac{2}{5}}.
Como a condição inicial é em x=2>0, o intervalo maximal de existência é \displaystyle\bigl(\sqrt{\tfrac{2}{5}},\;+\infty\bigr).

Resposta

A solução particular é
y(x)=\sqrt{\frac{5x^2-2}{2}},
e o intervalo maximal de existência contendo x=2 é
\bigl(\sqrt{\tfrac{2}{5}},\;+\infty\bigr).

Exercícios relacionados